专题30等比数列1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S1，S2＋a2，S3成等差数列，则数列{an}的公比为()A．1B．2C.D．3解析：因为S1，S2＋a2，S3成等差数列，所以2(S2＋a2)＝S1＋S3,2(a1＋a2＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，a3＝3a2，q＝3。选D。答案：D2．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝()A．12B．10C．8D．2＋log35答案：B3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝()A．4n－1B．4n－1C．2n－1D．2n－1解析：∵∴由(1)除以(2)可得＝2，解得q＝，代入(1)得a1＝2，∴an＝2×n－1＝，∴Sn＝＝4，∴＝＝2n－1，选D。答案：D4．在等比数列{an}中，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为17，则S6＝()A.B．16C．15D.答案：A5．已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的一个可能的值是()A.B.C．2D.解析：由题意可设三角形的三边分别为，a，aq，因为三角形的两边之和大于第三边，所以有＋a＞aq，即q2－q－1＜0(q＞1)，解得1＜q＜，所以q的一个可能值是，故选D。答案：D6．正项等比数列{an}满足：a3＝a2＋2a1，若存在am，an，使得aman＝16a，则＋的最小值为()A.B.C.D.解析：由a3＝a2＋2a1得q2＝q＋2，∴q＝2(q＝－1舍去)，由aman＝16a得2m－12n－1＝16，因为m＋n－2＝4，m＋n＝6，所以＋＝＝≥＝。答案：D7．在等比数列{an}中，a1＝2，a4＝16，则数列{an}的通项公式an＝__________，设bn＝log2an，则数列{bn}的前n项和Sn＝__________。解析：由题意得公比q3＝＝8，q＝2，an＝2·2n－1＝2n。因此bn＝n，Sn＝。答案：2n8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝S5，则S2014＝__________。答案：09．在各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则2a7＋a11的最小值是__________。解析：由题意知a4·a14＝(2)2＝a，即a9＝2。设公比为q(q＞0)，所以2a7＋a11＝＋a9q2＝＋2q2≥2＝8，当且仅当＝2q2，即q＝时取等号，其最小值为8。答案：810．在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81。(1)求an；(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn。解析：(1)设{an}的公比为q，依题意得解得因此，an＝3n－1。(2)因为bn＝log3an＝n－1，所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝。11．在等比数列{an}中，其前n项和为Sn，已知a3＝，S3＝。(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在正整数n，使得Sn－Sn＋2＝成立，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由。⇒n＝－⇒n＝5，综合①②知，存在正整数n＝5，使得Sn－Sn＋2＝成立。12．在数列{an}中，a1＝－，2an＝an－1－n－1(n≥2，n∈N*)，设bn＝an＋n。(1)证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{nbn}的前n项和Tn；(3)若cn＝n－an，Pn为数列{}的前n项和，求不超过P2014的最大的整数。解析：(1)证明：由2an＝an－1－n－1两边加2n得，2(an＋n)＝an－1＋n－1，所以＝，即＝。故数列{bn}是公比为的等比数列，其首项为b1＝a1＋1＝－＋1＝，所以bn＝n。(2)nbn＝n·n＝。Tn＝＋＋＋＋…＋＋。①Tn＝＋＋＋＋…＋＋。②①－②得Tn＝＋＋＋＋…＋－＝1－－，所以Tn＝2－。(3)由(1)得an＝n－n，所以cn＝n。＝＝1＋＝1＋－。P2014＝＋＋＋…＋＝2015－。所以不超过P2014的最大的整数是2014。
