计时双基练五十六双曲线A组基础必做1．若实数k满足00)的离心率等于b，则该双曲线的焦距为()A．2B．2C．6D．8解析设双曲线的焦距为2c，由已知得＝b，又c2＝4＋b2，解得c＝4，则焦距为8。答案D3．(2015·四川卷)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝()A.B．2C．6D．4解析双曲线x2－＝1的两条渐近线方程为y＝±x，右焦点为F(2,0)如图所示。根据题意，由得A(2,2)。同理可得B(2，－2)。所以|AB|＝4，故选D。答案D4．已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A．(1，)B．(1，]C．(，＋∞)D．[，＋∞)解析 双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得>2，∴e＝＝>＝。答案C5．过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心，半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析设双曲线的右顶点为B，则B(a,0)。不妨取渐近线y＝x，则A点的坐标为(a，b)，从而可知|OA|＝c。 由已知可得|OF|＝|AF|＝c＝4，∴△OAF的边长是c的等边三角形。又AB⊥OF，∴|OB|＝a＝2，|AB|＝b＝2。故所求的双曲线方程为－＝1。答案A6．(2016·武汉模拟)P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且∠F1PF2＝90°，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于()A．5B．6C．7D．8解析因为e＝＝，所以可设a＝4k，b＝3k，c＝5k，其中k>0，由|PF1|2＋|PF2|2＝100k2，|PF1|·|PF2|＝9，(|PF1|－|PF2|)2＝100k2－36＝64k2，解得k＝1或k＝－1(舍去)，所以a＋b＝4k＋3k＝7。故选C。答案C7．(2015·北京卷)已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝________。解析 双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±，即y±＝0。又a>0，∴＝，∴a＝。答案8．(2015·山东卷)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B。若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________。解析双曲线的渐近线为y＝±x。由得A。由得B。 F为△OAB的垂心，∴kAF·kOB＝－1。即·＝－1，解得＝，∴＝，即可得e＝。答案9．(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点。若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________。解析直线x－y＋1＝0与双曲线的渐近线y＝x平行，且两平行线间的距离为。由图形知，双曲线右支上的动点P到直线x－y＋1＝0的距离的最小值无限趋近于，要使距离d大于c恒成立，只需c≤即可，故c的最大值为。答案10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)。(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1·MF2＝0；(3)在(2)的条件下，求△F1MF2的面积。解(1) e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)。 过点P(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6。∴双曲线方程为x2－y2＝6。即－＝1。(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝，kMF1·kMF2＝＝－。 点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3。故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2。∴MF1·MF2＝0。(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，△F1MF2的边F1F2上的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝·|F1F2|·|m|＝6。11．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为。(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使OM＋ON＝tOD，求t的值及点D的坐标。解(1)由题意知a＝2，又 一条渐近线为y＝x，即bx－ay＝0。∴由焦点到渐近线的距离为，得＝。∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1。(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0。将直线方程y＝x－2代入双曲线方程－＝1得...
