高考数学复习点拨 立几问题中的转化策略VIP免费

立几问题中的转化策略立体几何是高考的重点、难点，也是很多同学感到头疼的问题．我们做题时，若能根据题目的特点进行合理的转换，则常常能使问题较容易的得以解决．本文就立几问题中常见的几种转化策略作一介绍，供同学们学习时参考．一、空间问题平面化所谓平面化是指将空间的点、线、面的位置关系通过适当的转化，使之转化在同一平面上进行研究．常见的转化策略有“截、展、移”等．（1）“截”就是根据题目需要，在几何体的适当位置作一能反映所研究各元素间关系的面，使问题转化在同一个平面上研究．例1设球O的半径为5，一个内接圆台的上、下底面半径分别为3和4，求这个圆台的体积．解析：图1是球及其内接圆台的轴截面，球心O到圆台的两底面的距离分别为22543OM，22534ON．①若圆台的两底面在球心的两侧，则圆台的高为437MN．所以圆台的体积为22π259π7(3344)33V．②若圆台的两底面在球心的同侧，则圆台的高为431MN．所以圆台的体积为22π37π1(3344)33V．（2）“展”就是将几何体展开，将空间几何问题转化为平面几何问题来解决．此法通常用来解决空间几何体的表面积问题和几何体表面上（曲线）线段的最小值问题．转化的关键是要搞清楚几何体中的点、线在展开图中的相应的位置关系．此种方法我们在前面已经讲过了，这里就不再缀述．（3）“移”就是将立体几何图形中的某些图形平移到适当的位置，使不在同一平面上的元素经过平移后，集中在某一个平面内，再用平面几何知识来处理．常用于异面直线所成的角．例2如图2，三棱锥ABCD的各棱长都相等，M，N分别为BC，AD的中点，求异面直线MN与BD所成的角．解：如图2，取CD的中点F，连结MF，NF．∵M为BC的中点，∴MF∥BD，MF=BD．同理NF=AC．则∠NMF（或其补角）就是异面直线MN与BD所成的角．连结AM，MD．∵三棱锥的各条棱都相等，∴三棱锥各面都是正三角形．设棱长为a，则AM=MD=a．又∵N为AD的中点，∴MN⊥AD．在Rt△AMN中，222222311222MNAMANaaa．用心爱心专心又1122MFBDa，12NFa，222MNMFNF，故△MFN是等腰直角三角形．∴∠NMF=45°．故MN与BD所成的角为45°．二、空间问题“割补”化对于某些立体几何问题，如果直接根据原有图形进行解题比较困难时，不妨将图形巧妙的进行割补，转化为我们熟悉的柱、锥等较规则的或易于研究的几何体来处理，从而化繁为简，化难为易，使问题易于解决．例3如图3，已知三棱锥ABCD中，AB=CD=1，BC=BD=AC=AD=2．求三棱锥ABCD的体积．解：将三棱锥ABCD补形成如图3所示的长方体．设长方体的长、宽、高分别xyz，，，则2224xyBD，2224xzBC，2221zyCD．由三式解得222711222xyz，，．∴114432ABCDPABCQBCDSABDQBCDVVVVVVVxyzxyz方体方体114312xyz．三、空间问题整体化当立几问题中的某些元素无法找到或者较难作出时，可把问题作为一个有机的整体，从整体上考察问题中的数量关系和空间形式，对整体结构进行全面、深刻的分析和改造，从而达到探求解题思路或优化和简化解题过程的目的．例4如图4，棱长为2的正方形123SGGG中，EF，分别是12GG，23GG的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方体折叠成一个四面体，且123GGG，，三点重合，重合后的点记为G，求四面体G－SEF的体积．分析：本题若先求出点G到平面SEF的距离，然后利用三棱锥的体积公式求解，则比较麻烦．若注意到三棱锥G－SEF的体积与三棱锥S－GEF的体积相等，即GSEFSGEFVV，则使问题较容易的得到解决．解：由题易知SG⊥GE，SG⊥GF，且GE∩GF=G，所以SG⊥面GEF．由正方形的棱长为2，易知SG=2，12GEFS△，所以四面体用心爱心专心G－SEF的体积为1112323GSEFSGEFVV．用心爱心专心