第8讲轨迹与方程1．当动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点M的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1D.2＋y2＝2．已知椭圆的焦点为F1，F2，P是椭圆上一个动点，延长F1P到点Q，使|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线3．若AB是过椭圆＋＝1(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM·kBM＝()A．－B．－C．－D．－4．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()A．x2＝4yB．x2＝8yC．x2＝4yD．x2＝8y5．记点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是()A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．直线6．(2017年天津)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为____________．7．长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，动点C(x，y)满足AC＝2CB，则动点C的轨迹方程为________________．8．已知A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为2，P是AB的中点，则动点P的轨迹C的方程为____________．9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点．(1)设椭圆C上的点到F1，F2两点距离之和等于2，写出椭圆C的方程；(2)设过(1)中所得椭圆上的焦点F2且斜率为1的直线与其相交于A，B，求△ABF1的面积；(3)在(1)的条件下，设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M，N两点，直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，试探究kPM·kPN的值是否与点P及直线l有关，并证明你的结论．10．(2016年新课标Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．1第8讲轨迹与方程1．C2．A解析：|QF1|＝|PF1|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|＝2a，∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆．3．B解析：方法一(直接法)：设A(x1，y1)，M(x0，y0)，则B(－x1，－y1)，kAM·kBM＝·＝＝＝－.方法二(特殊值法)：因为四个选项为确定值，取A(a,0)，B(－a,0)，M(0，b)，可得kAM·kBM＝－.4．D解析：由题意，可得双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0.由e＝＝＝，得b＝a，∴c＝＝a.又抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点坐标为，故焦点到渐近线的距离d＝＝＝2.∴p＝＝4.∴抛物线C2的方程为x2＝8y.5．D解析：若点A在圆C内，如图D135(1)，有|PA|＝|PB|，|PA|＋|PC|＝|PB|＋|PC|＝|BC|(为定值)，其轨迹为椭圆；(1)(2)(3)图D135若点A在圆C外，如图，有|PA|＝|PB|，|PC|－|PA|＝|PC|－|PB|＝|BC|(为定值)，其轨迹为双曲线的一支；若点A与圆C的圆心重合，如图，其轨迹为圆；若点A在圆C上，其轨迹为射线．故选D.6．(x＋1)2＋(y－)2＝1解析：如图D136，圆心C的坐标设为(－1，b)，显然半径r＝1，又∠FAC＝120°，则∠FAO＝30°，OF＝1，则OA＝b＝.所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.图D1367．x2＋＝1解析：设A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9.又C(x，y)，则由AC＝2CB，得(x－a，y)＝2·(－x，b－y)．即即代入a2＋b2＝9，并整理，得x2＋＝1.8.＋y2＝1解析：设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． P是线段AB的中点，∴① A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的点，∴y1＝x1，y2＝－x2.代入①，得②又|AB|＝2，∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝12.∴12y2＋x2＝12.∴动点P的轨迹C的方程为＋y2＝1.9．解：(1)由于点在椭圆上，所以解得2故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由(1)知椭圆C的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1，0)，|F1F2|＝2，所以过椭圆的焦点F2且斜率为1的直线方程为y＝x－1.将其代入＋y2＝1，整理，得3x2－4x＝0.解得x1＝0，x2＝.当x1＝0时，y1＝－1；当x2＝时，y2＝.1ABFS＝12AFFS＋12BFFS＝|F1F2|·＋|F1F2|·＝×2×1＋×2×＝.(3)过原点的直线l与椭圆＋y2...
