椭圆中的常见错例分析椭圆作为圆锥曲线的一种，在解决与之相关的问题时，常因概念不清、思路不严谨而出现种种错误.下面就学生常见的几种错误作以归纳,并对此进行剖析,供同学们学习时参考.一、对椭圆的定义理解不清楚例1平面内一点M到两定点F1(0,－5)、F2(0,5)的距离之和为10,则M点的轨迹为()A.椭圆B.圆C.直线D.线段错解:根据椭圆的定义,M点的轨迹为椭圆,故选A.剖析:在椭圆的定义中,点M到两定点F1、F2的距离之和必须大于两定点的距离,即1212MFMFFF,亦即22ac.而本题中1212MFMFFF,所以,点M的轨迹不为椭圆,而是线段F1F2.正解:因为点M到两定点F1、F2的距离之和为│F1F2│,所以点M的轨迹是线段F1F2,故选D.二、焦点位置不清例2已知椭圆的焦点在坐标轴上,且过点A(5,4),离心率35e,求此椭圆的标准方程.错解:由题意设椭圆的标准方程为22221xyab(a>b>0),则有222222516135abcabac,解之得225032ab∴椭圆的标准方程为2215032xy.剖析:题目中只说椭圆的焦点在坐标轴上,但并没有指明焦点在x轴上还是在y轴上,应包括两种情况.而错解只列出焦点在x轴上的情况是不完整的,从而该解题过程是错误.正解:(1)当椭圆的焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为22221xyab(a>b>0),则由题意得222222516135abcabac,解之得225032ab用心爱心专心∴椭圆的标准方程为2215032xy.(2)当椭圆的焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为22221xyba(a>b>0),则由题意得222222516135bacabac,解之得228811688125ab∴椭圆的标准方程为2218818812516xy.综上所述,椭圆的标准方程为2215032xy或2218818812516xy.三、对椭圆的标准方程理解有误例3求经过点A(13,13),B(－12,0)的椭圆的标准方程.错解:当椭圆的焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为22221xyab(a>b>0),依题意得22211199114aba,解之得221415ab.∴当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为2211145xy.同理,当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为2211145yx.综上所述,椭圆的标准方程为2211145xy或2211145yx.用心爱心专心剖析:本题解题过程看似非常完美、流畅,正确无误.但是细心的同学会发现点B(－12,0)并不在椭圆2211145yx上.事实上,上述错误的原因有两处:(1)误认为不管题目的条件如何,只要把焦点在x轴上的椭圆标准方程中的x,y互换,就可得到焦点在y轴上的椭圆标准方程;(2)忽视了a>b>0这一条件.正解一:(1)当椭圆的焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为22221xyab(a>b>0),依题意得22211199114aba,解之得221415ab.∴当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为2211145xy.(2)当椭圆的焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为22221xyba(a>b>0),由题意得22211199114abb,解之得221514ab.又∵a>b>0∴221514ab不合题意,应舍去.∴椭圆的标准方程为2211145xy.正解二:设椭圆的标准方程为221(0,0,)mxnymnmn,依题意得用心爱心专心22211()()1,331()1.2mnm,解之得45mn.∴椭圆的标准方程为2211145xy.注:当椭圆的焦点位置不确定时,可分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况讨论,但在本题中采用了椭圆方程的一般形式,避免了分类讨论,使解答过程非常简捷,希望同学们注意该种解题方法的应用.用心爱心专心
