高考数学 命题热点全覆盖 专题10 三角化简的技巧 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题10三角化简的技巧一．三角化简的技巧1.角的范围问题2.角的一致性问题3.三角化简形式、名称、角的一致原则4.角成倍角的余弦之积问题5.“1”的妙用6.辅助角的替换作用7.角的范围对函数性质的影响8.用已知角表示未知角问题二．三角化简方法总结：1.三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角.2.三角函数式的证明应从消去等式两端的差异去思考，或“从左证到右”或“从右证到左”或“从两边到中间”去具体操作.3.证明三角函数式恒等式，首先观察条件与结论的差异，从解决差异入手，确定从结论开始，通过变换将已知表达式代入得出结论，或变换已知条件得出结论，常用消去法等.三典例分析（一）“1”的妙用例1．已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用同角三角函数的基本关系把原式的分母“1”变为sin2α+cos2α，然后给分子分母求除以cos2α，把原式化为关于tanα的关系式，把tanα的值代入即可求出值．因为tanα＝3，所以．故选：C．练习1．已知角的终边在函数的图象上,则的值为()A．B．C．－2D．【答案】A【解析】依题意可知,故原式,故选.练习2．已知，则的值为（）A．0B．1C．-1D．【答案】C【解析】由平方得：，得..故选C.练习3．若，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，则故选A（二）与的关系例2．已知，则的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，则即故选D.练习1．已知θ为△ABC的一个内角，且sinθ＋cosθ＝m，若m∈(0，1)，则关于△ABC的形状的判断，正确的是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．三种形状都有可能【答案】B【点睛】本题主要考查了利用同角平方关系的应用，其关键是变形之后从sinθcosθ的符号中判断θ的取值范围，属于三角函数基本技巧的运用．练习2.【2019高考热点题型】若sinθ，cosθ是方程4x2+2mx+m=0的两根，则m的值为（）A．.B．C．D．【答案】B【解析】由sinθ、cosθ是关于x的方程4x2+2mx+m=0的两个实根，利用判别式求出满足条件的m取值范围；再根据韦达定理和同角三角函数基本关系，求出对应m的值．sinθ，cosθ是方程4x2+2mx+m=0的两根，∴，∴（sinθ+cosθ）2﹣2sinθcosθ=﹣2×=1，解得m=1±；又方程4x2+2mx+m=0有实根，则△=（2m）2﹣16m≥0，解得m≤0，或m≥4；综上，m的值为1﹣．故选：B．（三）用已知角表示未知角例3．已知，，且，则（）A．-2B．2C．D．【答案】A【分析】观察角之间的关系，拆角，，利用差角公式展开，可以求得.【解析】因为sin，，所以；又所以，，，故选A.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，一般求解思路是先观察已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解.注意积累常见的拆角方法.练习1．已知在锐角△ABC中，角α＋的终边过点P(sinB－cosA，cosB－sinA)，且cos，则cos2α的值为A．B．C．D．【答案】D【分析】在锐角三角形中分析可得sinB－cosA>0，cosB－sinA<0，得α＋为第四象限角，由的展开即可得，利用余弦的二倍角公式即可得解.【解析】 △ABC是锐角三角形，∴，即sinB－cosA>0，同理，cosB－sinA<0，∴角α＋为第四象限角，∴sin＝－，∴，∴，故选D.【点睛】给值求值问题一般是应用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．（五）特殊角的替换作用例5.等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，故选C。练习1．A.B.-1C.D.1【答案】D【解析】，故选：D.（六）.角的一致性例6.的值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】故选D.【防陷阱措施】三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.练习1=______________【答案】-1练习2__________.【答案】【解析】故答案为练习3．__________．【答案】【解析】由，及，可得，所以.练习4．__________．【答案】【解析】，.故答案为：练习5.求值：________．【...