【大高考】2017版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第2节导数的应用高考AB卷理利用导数研究函数的单调性1.(2016·全国Ⅱ，21)(1)讨论函数f(x)＝ex的单调性，并证明当x>0时，(x－2)ex＋x＋2>0；(2)证明：当a∈[0，1)时，函数g(x)＝(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域.(1)解f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞).f′(x)＝＝≥0，且仅当x＝0时，f′(x)＝0，所以f(x)在(－∞，－2)，(－2，＋∞)单调递增.因此当x∈(0，＋∞)时，f(x)>f(0)＝－1.所以(x－2)ex>－(x＋2)，即(x－2)ex＋x＋2>0.(2)证明g′(x)＝＝(f(x)＋a).由(1)知，f(x)＋a单调递增，对任意a∈[0，1)，f(0)＋a＝a－1<0，f(2)＋a＝a≥0.因此，存在唯一xa∈(0，2]，使得f(xa)＋a＝0，即g′(xa)＝0.当0xa时，f(x)＋a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增.因此g(x)在x＝xa处取得最小值，最小值为g(xa)＝＝＝.于是h(a)＝，由′＝>0，单调递增.所以，由xa∈(0，2]，得＝0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A.(－∞，－1)∪(0，1)B.(－1，0)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(－1，0)D.(0，1)∪(1，＋∞)解析因为f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，所以f(1)＝－f(－1)＝0.当x≠0时，令g(x)＝，则g(x)为偶函数，且g(1)＝g(－1)＝0.则当x＞0时，g′(x)＝′＝＜0，故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数.所以在(0，＋∞)上，当0＜x＜1时，g(x)＞g(1)＝0⇔＞0⇔f(x)＞0；在(－∞，0)上，当x＜－1时，g(x)＜g(－1)＝0⇔＜0⇔f(x)＞0.综上，得使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，选A.答案A4.(2014·全国Ⅱ，12)设函数f(x)＝sin.若存在f(x)的极值点x0满足x＋[f(x0)]23，其中k∈Z.由题意，存在整数k使得不等式m2>3成立.当k≠－1且k≠0时，必有>1，此时不等式显然不能成立，故k＝－1或k＝0，此时，不等式即为m2>3，解得m<－2或m>2.答案C5.(2016·全国Ⅲ，21)设函数f(x)＝acos2x＋(a－1)·(cosx＋1)，其中a＞0，记|f(x)|的最大值为4.(1)求f′(x)；(2)求A；(3)证明|f′(x)|≤2A.(1)解f′(x)＝－2asin2x－(a－1)sinx.(2)解当a≥1时，|f(x)|＝|acos2x＋(a－1)(cosx＋1)|≤a＋2(a－1)＝3a－2.因此A＝3a－2.当0＜a＜1时，将f(x)变形...
