35与抛物线相关的热点问题1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为________．答案4或－4解析设标准方程为x2＝－2py(p>0)，由定义知P到准线的距离为4，故＋2＝4，所以p＝4，则方程为x2＝－8y，代入P点坐标得m＝±4.2．若抛物线y2＝8x的焦点是F，准线是l，则经过点F，M(3,3)且与l相切的圆共有________个．答案1解析由题意得F(2,0)，l：x＝－2，线段MF的垂直平分线方程为y－＝－(x－)，即x＋3y－7＝0，设圆的圆心坐标为(a，b)，则圆心在x＋3y－7＝0上，故a＋3b－7＝0，a＝7－3b，由题意得|a－(－2)|＝，即b2＝8a＝8(7－3b)，即b2＋24b－56＝0.又b>0，故此方程只有一个根，于是满足题意的圆只有一个．3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是________．答案2±解析依题意得F(，0)，设P(，y1)，Q(，y2)(y1≠y2)．由抛物线定义及PF＝QF，得＋＝＋，∴y＝y，∴y1＝－y2.又PQ＝2，因此|y1|＝|y2|＝1，点P(，y1)．又点P位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得PF＝＋＝2，由此解得p＝2±.4．(2014·课标全国Ⅱ改编)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．答案解析由已知得焦点坐标为F(，0)，因此直线AB的方程为y＝(x－)，即4x－4y－3＝0.方法一联立抛物线方程化简得4y2－12y－9＝0，故|yA－yB|＝＝6.因此S△OAB＝OF·|yA－yB|＝××6＝.方法二联立方程得x2－x＋＝0，故xA＋xB＝.根据抛物线的定义有AB＝xA＋xB＋p＝＋＝12，同时原点到直线AB的距离为h＝＝，因此S△OAB＝AB·h＝.5．已知抛物线y2＝8x的准线为l，点Q在圆C：x2＋y2＋2x－8y＋13＝0上，记抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d＋PQ的最小值为________．答案3解析如图所示，由题意，知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，连结PF，则d＝PF.圆C的方程配方，得(x＋1)2＋(y－4)2＝4，圆心为C(－1,4)，半径r＝2.d＋PQ＝PF＋PQ，显然，PF＋PQ≥FQ(当且仅当F，P，Q三点共线时取等号)．而FQ为圆C上的动点Q到定点F的距离，显然当F，Q，C三点共线时取得最小值，最小值为CF－r＝－2＝5－2＝3.6．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若AF＝3，则△AOB的面积为______．答案解析如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又AF＝3，由抛物线定义知：点A到准线x＝－1的距离为3，∴点A的横坐标为2.将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知点A的纵坐标y＝2，∴A(2,2)，∴直线AF的方程为y＝2(x－1)．联立直线与抛物线的方程解之得或由图知B，∴S△AOB＝OF·|yA－yB|＝×1×|2＋|＝.7．过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若AB＝，AF0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.答案6解析因为△ABF为等边三角形，所以由题意知B，代入方程－＝1得p＝6.11．(2014·大纲全国)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且QF＝PQ.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．解(...
