高考数学母题题源系列 专题13 三角函数性质的综合应用 文（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

三角函数性质的综合应用【母题来源】2015天津卷文-14【母题原题】已知函数sincos0fxxx,xR,若函数fx在区间,内单调递增,且函数fx的图像关于直线x对称,则的值为．【答案】π2【考点定位】本题主要考查三角函数的单调性、对称性.【试题解析】因为sincos0fxxx的递增区间长度为半个周期,所以由fx在区间,内单调递增,可得π2,所以π02,又fx的图像关于直线x对称,,且2222πππsincos2sin12π442fkkZ,由π02可得,2πππ.422【命题意图】本题主要考查三角函数性质的综合应用及分析问题解决问题的能力.【方法、技巧、规律】奇偶性、单调性、周期性是三角函数的重要性质,有关结论课本上都有,不再一一指出.除此之外,对称性也是三角函数的重要性质,由于课本对此总结较少,学生比较生疏,故这这里总结几点,供参考：1.sinyx的图像既是轴对称图形,又是中心对称图形,其对称轴是直线ππ2xkkZ,其对称中心是π,0kkZ；2.cosyx的图像既是轴对称图形,又是中心对称图形,其对称轴是直线πxkkZ,其对称中心是ππ,02kkZ；3.tanyx的图像不是轴对称图形,是中心对称图形,其对称中心是1π,02kkZ；4.sin0fxAxA的图像既是轴对称图形,又是中心对称图形,fx图像关于直线0xx对称的充要条件是0fxA,fx图像关于点0(,0)x对称的充要条件是00fx.【探源、变式、扩展】下面以一个题组对此问题进行扩展：【扩展】已知sincos0fxxx.1.若fx图像关于直线π3x对称,求实数的最小值；2.若存在aR,使得fx在,1aa是单调函数,求实数ω的取值范围；3.若对任意aR,fx在,1aa上的值域为1,1,求实数ω的取值范围；4.若对任意xR,0fxfx,且fx在00,1xx上至少有50个零点,求实数ω的取值范围.【解析】1.πsincos2sin4fxxxx,若fx图像关于直线π3x对称,则ππππ342kkZ,即334kkZ,又0,所以的最小值是34.2.若存在aR,使得fx在,1aa是单调函数,1,所以0π,即ω的取值范围时0,π.3.fx在任意长度为一个周期T的闭区间上的值域均为1,1,若对任意aR,fx在,1aa上的值域为1,1,应满足T≤1,即2π≤1,解得ω≥2π,故实数ω的取值范围是2π,.4.由题意可知0fx是fx最大值,设fx的最小正周期为T,fx在区间00,1xx上的第一个零点是04Tx,第50个零点是004999424TTTxx,所以99992π99π1442T,即ω的取值范围99π,2.1.【2015安徽涡县】已知函数πsin3yx在区间t,0上至少取得2次最大值,则正整数t的最小值是________．【答案】82.【2015江西上高】已知函数π()sin()(0)6fxx在4π(0,)3上单调递增,在4π(,2π)3上单调递减,则．【答案】12．3.【2015江西吉安】设函数()sin(2)(0π),()fxxyfx图象的一条对称轴是直线π6x,则__________.【答案】5π64.【2015江苏无锡】将函数3cossinyxxxR的图像向左平移个0mm单位长度后,所得的图像关于y轴对称,则m的最小值是【答案】π65.【2015上海闸北区】设函数15()sin(π)2fxx,若存在)1,1(0x同时满足以下条件：①对任意的Rx,都有)()(0xfxf成立；②22200[()]xfxm,则m的取值范围是．【答案】,22,6.【2015湖北咸宁】若函数π()sin()1(0,0)6fxAxA的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2,则π()3f＝________________；【答案】3【解析】 函数f（x）的最大值为3,∴A+1=3,即A=2；7.【2015浙江湖州】已知0,函数πsin4fxx在π,π2上单调递减．则的取值范围是.【答案】15248.【2015河南安阳】...