考点规范练24平面向量的概念及线性运算一、基础巩固1.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使a|a|=b|b|成立的充分条件是()A.a=-bB.a∥bC.a=2bD.a∥b,且|a|=|b|答案C解析由a|a|表示与a同向的单位向量,b|b|表示与b同向的单位向量,故只要a与b同向即可,观察可知C满足题意.2.设E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且AE=12AB,BF=23BC.如果⃗EF=m⃗AB+n⃗AC(m,n为实数),那么m+n的值为()A.-12B.0C.12D.1答案C解析如图,⃗EF=⃗EA+⃗AC+⃗CF=-12⃗AB+⃗AC−13⃗BC=-12⃗AB+⃗AC−13¿)=-16⃗AB+23⃗AC. ⃗EF=m⃗AB+n⃗AC,∴m=-16,n=23,∴m+n=12.故选C.3.设向量a,b不共线,⃗AB=2a+pb,⃗BC=a+b,⃗CD=a-2b.若A,B,D三点共线,则实数p的值是()A.-2B.-1C.1D.2答案B解析 ⃗BC=a+b,⃗CD=a-2b,∴⃗BD=⃗BC+⃗CD=2a-b.又A,B,D三点共线,∴⃗AB,⃗BD共线.∴⃗AB=λ⃗BD,即2a+pb=λ(2a-b).∴2=2λ,p=-λ.∴λ=1,p=-1.4.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,⃗AB=a,⃗AC=b,则⃗AD=()A.a-12bB.12a-bC.a+12bD.12a+b答案D解析连接CD(图略),由点C,D是半圆弧的三等分点,得CD∥AB,且⃗CD=12⃗AB=12a,所以⃗AD=⃗AC+⃗CD=b+12a.5.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2⃗OP=2⃗OA+⃗BA,则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向延长线上C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上答案B解析因为2⃗OP=2⃗OA+⃗BA,所以2⃗AP=⃗BA.所以点P在线段AB的反向延长线上,故选B.6.(2018陕西咸阳月考)在四边形ABCD中,⃗AB=a+2b,⃗BC=-4a-b,⃗CD=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是()A.矩形B.平行四边形C.梯形D.以上都不对答案C解析 ⃗AD=⃗AB+⃗BC+⃗CD=-8a-2b=2(-4a-b)=2⃗BC,∴⃗AD∥⃗BC.又⃗AB与⃗CD不平行,∴四边形ABCD是梯形.7.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5⃗AM=⃗AB+3⃗AC,则△ABM与△ABC的面积比为()A.15B.25C.35D.45答案C解析设AB的中点为D.由5⃗AM=⃗AB+3⃗AC,得3⃗AM-3⃗AC=2⃗AD-2⃗AM,即3⃗CM=2⃗MD.如图,故C,M,D三点共线,且⃗MD=35⃗CD,也就是△ABM与△ABC对于边AB上的两高之比为3∶5,则△ABM与△ABC的面积比为35,选C.8.(2018河南洛阳月考)已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足⃗OP=13¿,则点P一定为△ABC的()A.边AB中线的中点B.边AB中线的三等分点(非重心)C.重心D.边AB的中点答案B解析设AB的中点为M,则12⃗OA+12⃗OB=⃗OM,所以⃗OP=13¿+2⃗OC),即3⃗OP=⃗OM+2⃗OC,⃗OP−⃗OM=2⃗OC-2⃗OP,即⃗MP=2⃗PC.又⃗MP与⃗PC有公共点P,所以P,M,C三点共线,且P是CM上靠近点C的一个三等分点.9.已知A,B,C为圆O上的三点,若⃗AO=12¿),则⃗AB与⃗AC的夹角为.答案90°解析由⃗AO=12¿)可得O为BC的中点,则BC为圆O的直径,即∠BAC=90°,故⃗AB与⃗AC的夹角为90°.10.已知D为△ABC的边BC的中点,点P满足⃗PA+⃗BP+⃗CP=0,⃗AP=λ⃗PD,则实数λ的值为.答案-2解析如图,由⃗AP=λ⃗PD,且⃗PA+⃗BP+⃗CP=0,得P为以AB,AC为邻边的平行四边形的顶点,因此⃗AP=-2⃗PD,则λ=-2.11.如图,在△ABC中,已知∠BAC=π3,AB=2,AC=4,点D为边BC上一点,满足⃗AC+2⃗AB=3⃗AD,点E是AD上一点,满足⃗AE=2⃗ED,则BE=.答案2❑√219解析如图,延长AB到F,使AF=2AB,连接CF,则AC=AF.取CF的中点O,连接AO,则⃗AC+2⃗AB=2⃗AO=3⃗AD,∴A,D,O三点共线,∠BAC=π3,∴∠CAO=π6,且AO⊥CF,AC=4,∴AO=2❑√3.∴AD=4❑√33.又⃗AE=2⃗ED,∴AE=2ED=23AD=8❑√39.又AB=2,∠BAE=π6,∴在△ABE中,由余弦定理,得BE2=4+6427-2×2×8❑√39×❑√32=2827.∴BE=2❑√219.12.在任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,若⃗EF=λ⃗AB+μ⃗DC,则λ+μ=.答案1解析如图,因为E,F分别是AD与BC的中点,所以⃗EA+⃗ED=0,⃗BF+⃗CF=0.又因为⃗AB+⃗BF+⃗FE+⃗EA=0,所以⃗EF=⃗AB+⃗BF+⃗EA.①同理⃗EF=⃗ED+⃗DC+⃗CF.②由①+②得,2⃗EF=⃗AB+⃗DC+(⃗EA+⃗ED)+(⃗BF+⃗CF)=⃗AB+⃗DC,所以⃗EF=12¿),所以λ=12,μ=12.所以λ+μ=1.二、能力提升13.已知在△ABC中,D是AB边上的一点,⃗CD=λ(⃗CA|⃗CA|+⃗CB|⃗CB|),|⃗CA|=2,|⃗CB|=1.若⃗CA=b,⃗CB=a,则用a,b表示⃗CD为()A.23a+13bB.13a+23bC.13a+13bD.23a+23b答案A解析由题意知,CD是∠ACB的平...
