9.5空间几何中垂直问题【套路秘籍】---千里之行始于足下一．直线与平面垂直1.定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．2.判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⇒a∥b二．平面与平面垂直1.二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．2.平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．3.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⇒l⊥α【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一线面垂直【例1】如图,在正方体中,分别为棱的中点.（Ⅰ）求证:平面;（Ⅱ）求证:平面.【答案】见解析【解析】证明：（Ⅰ）分别为棱的中点,在中,为中位线,所以;又因为;所以,平面,平面所以平面.（Ⅱ）因为正方体,和为对角线,所以,在正方体中,平面,平面,所以,又因为,所以平面.【套路总结】线面垂直证明一般通过线线垂直。常见的证明线线垂直的思路如下【举一反三】1.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是CC1上一点．当CF＝2时，证明：B1F⊥平面ADF.【答案】见证明【证明】因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，因为BB1⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，所以AD⊥B1B.因为BC∩B1B＝B，BC，B1B⊂平面B1BCC1，所以AD⊥平面B1BCC1.因为B1F⊂平面B1BCC1，所以AD⊥B1F.方法一在矩形B1BCC1中，因为C1F＝CD＝1，B1C1＝CF＝2，所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1，所以∠CFD＝∠C1B1F，所以∠B1FD＝90°，所以B1F⊥FD.因为AD∩FD＝D，AD，FD⊂平面ADF，所以B1F⊥平面ADF.方法二在Rt△B1BD中，BD＝CD＝1，BB1＝3，所以B1D＝＝.在Rt△B1C1F中，B1C1＝2，C1F＝1，所以B1F＝＝.在Rt△DCF中，CF＝2，CD＝1，所以DF＝＝.显然DF2＋B1F2＝B1D2，所以∠B1FD＝90°.所以B1F⊥FD.因为AD∩FD＝D，AD，FD⊂平面ADF，所以B1F⊥平面ADF.2.如图所示的多面体中，底面ABCD为正方形，ΔGAD为等边三角形，BF⊥平面ABCD，∠GDC=90∘，点E是线段GC上除两端点外的一点，若点P为线段GD的中点.（Ⅰ）求证：AP⊥平面GCD；（Ⅱ）求证：平面ADG/¿平面FBC.【答案】见证明【解析】（Ⅰ）证明：因为ΔGAD是等边三角形，点P为线段GD的中点，故AP⊥GD.因为AD⊥CD，GD⊥CD，且AD∩GD=D，AD,GD⊂平面GAD，故CD⊥平面GAD，又AP⊂平面GAD，故CD⊥AP，又CD∩GD=D，CD,GD⊂平面GCD，故AP⊥平面GCD.（Ⅱ）证明： BF⊥平面ABCD，∴BF⊥CD， BC⊥CD，BF∩BC=B，BF,BC⊂平面FBC，∴CD⊥平面FBC，由（Ⅰ）知CD⊥平面GAD，∴平面ADG/¿平面FBC.考向二面面垂直【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证：AB∥EF；(2)若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD.【答案】见证明【证明】(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC，又因为AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF.(2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD.因为AF⊥EF，(1)中已证AB∥EF，所以AB⊥AF.又AB⊥AD，由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D，所以AF∩AD＝A，AF，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又AB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.【举一反三】1．如图，三棱柱中，，平面平面.证明：（1）平面；（2）平面平面．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）几何体为三棱柱四边形为平行四边形又平面，平面平面（2）且四边形为平行四边形四边形为菱形又平面平面，平面平面平面又平面平面平面考...
