圆的方程(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件的是()A.1C.m1【解析】选B.由(4m)2+4-4×5m>0,得m<或m>1.2.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程为()A.x2+y2-2x+4y=0B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x-4y=0D.x2+y2-2x-4y=0【解析】选C.由(a-1)x-y+a+1=0得a(x+1)-(x+y-1)=0,所以直线恒过定点(-1,2).所以圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,即x2+y2+2x-4y=0.3.方程|x|-1=所表示的曲线是()A.一个圆B.两个圆C.半个圆D.两个半圆【解析】选D.由题意得即或故原方程表示两个半圆.4.(2016·运城模拟)若圆x2+y2-2ax+3by=0的圆心位于第三象限,那么直线x+ay+b=0一定不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.圆x2+y2-2ax+3by=0的圆心为,则a<0,b>0.直线y=-x-,k=->0,->0,直线不经过第四象限.5.若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内,则a的取值范围为()A.(-∞,-2)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(2,+∞)【解题提示】圆上的所有点都在第二象限,因此圆心必在第二象限,且圆心到两坐标轴的距离大于半径.【解析】选D.曲线C的方程可化为(x+a)2+(y-2a)2=4,其为圆心为(-a,2a),半径为2的圆,要使圆C的所有的点均在第二象限内,则圆心(-a,2a)必须在第二象限,从而有a>0,并且圆心到两坐标轴的最小距离应大于圆C的半径,易知圆心到坐标轴的最小距离为|a|,则有|a|>2,得a>2.6.(2016·忻州模拟)已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积,则取最大面积时,该圆的圆心的坐标为()A.(-1,1)B.(-1,0)C.(1,-1)D.(0,-1)【解析】选D.由x2+y2+kx+2y+k2=0知所表示圆的半径r==,当k=0时,rmax==1,此时圆的方程为x2+y2+2y=0,即x2+(y+1)2=1,所以圆心为(0,-1).二、填空题(每小题5分,共20分)7.(2016·太原模拟)在平面直角坐标系xOy中已知圆C:x2+(y-1)2=5,A为圆C与x轴负半轴的交点,过点A作圆C的弦AB,记线段AB的中点为M.若OA=OM,则直线AB的斜率为.【解析】C(0,1),所以A(-2,0),连接CM,显然CM⊥AB,因此,四点C,M,A,O共圆,且AC就是该圆的直径,2R=AC=,在三角形OCM中,利用正弦定理得2R=,根据题意,OA=OM=2,所以,=,所以sin∠OCM=,tan∠OCM=-2(∠OCM为钝角),而∠OCM与∠OAM互补,所以tan∠OAM=2,即直线AB的斜率为2.答案:28.(2016·新乡模拟)已知在Rt△ABC中,A(0,0),B(6,0),则直角顶点C的轨迹方程为.【解析】依题意,顶点C的轨迹是以AB为直径的圆,且去掉端点A,B,圆心坐标为(3,0),半径为3,故直角顶点C的轨迹方程为(x-3)2+y2=9(y≠0).答案:(x-3)2+y2=9(y≠0)【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:设顶点C的坐标为(x,y),由于AC⊥BC,故kAC·kBC=-1,所以·=-1,所以x2+y2-6x=0,即直角顶点C的轨迹方程为(x-3)2+y2=9(y≠0).答案:(x-3)2+y2=9(y≠0)9.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角α=.【解析】由题意知,圆的半径r==≤1,当半径r取最大值时,圆的面积最大,此时k=0,r=1,所以直线方程为y=-x+2,则有tanα=-1,又α∈[0,π),故α=.答案:10.定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=.【解题提示】先求出圆C2上的点到直线y=x的最小值,从而得出曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离,再利用平行线的距离即可求出a的值.【解析】x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为-=,所以y=x2+a到直线l:y=x的距离为,而与y=x平行且距离为的直线有两条,分别是y=x+2与y=x-2,而抛物线y=x2+a与y=x+2相切,可求得a=.答案:(20分钟40分)1.(5分)设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆圆心的距离|C1C2|=()A.4B.4C.8D.8【解题提示】由已知可知两圆均在第一象限,且圆心的横、纵坐标相等,再由已知条件得出关于圆心的方程,进而求出两圆心的距离.【解析】选C.因为两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),所以两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等.设两圆的圆心分别为(a,a),(b,b),则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根,整理得x2-10x+17=0,所以a+b=10,ab=17.所以(a-b)2=(a+b)2-4a...
