第4讲平面向量数量积1.已知a＝(2，1)，b＝(1，－3)，若c＝a＋2b，d＝2a－xb，且c∥d，则x＝________．答案：－4解析：c＝(4，－5)，d＝(4－x，2＋3x)．因为c∥d，所以4(2＋3x)＋5(4－x)＝0，解得x＝－4.2.已知两个平面向量a，b满足|a|＝1，|a－2b|＝，且a与b的夹角为120°，则|b|＝________．答案：2解析：|a－2b|＝⇒a2－4a·b＋4b2＝21⇒1＋2|b|＋4|b|2＝21⇒|b|＝2(负值舍去)．3.已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________．答案：解析：设向量a和b的夹角为θ.由题意知(a－b)·a＝a2－a·b＝0，∴2－2cosθ＝0，解得cosθ＝，∴θ＝.4.(2018·合肥二检)设向量a，b满足|a＋b|＝4，a·b＝1，则|a－b|＝________．答案：2解析：由|a＋b|＝4两边平方可得|a|2＋|b|2＝16－2a·b＝14，则|a－b|＝＝＝＝2.5.在边长为1的等边△ABC中，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝________．答案：－解析：依题意有a·b＋b·c＋c·a＝＋＋＝－.6.(2017·无锡期末)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－1)，若a－b与ma＋b垂直，则实数m的值为________．答案：解析：根据向量a，b的坐标可得a－b＝(1，2)，ma＋b＝(2m＋1，m－1)．因为(a－b)⊥(ma＋b)，所以(a－b)·(ma＋b)＝1×(2m＋1)＋2×(m－1)＝4m－1＝0，故m＝.7.(2018·淮安期中)在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ABC＝60°，则AB·AC＝________．答案：3解析：由四边形ABCD为平行四边形得AC＝AB＋AD，所以AB·AC＝AB·(AB＋AD)＝AB·AB＋AB·AD＝4＋2×1×cos120°＝3.8.(2018·如东中学)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是________．答案：22解析：由题意知AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝BC＋CP＝BC＋CD＝AD－AB，所以AP·BP＝·＝AD2－AD·AB－AB2，即2＝25－AD·AB－×64，解得AB·AD＝22.9.(2018·苏州一调)如图，△ABC为等腰三角形，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，以A为圆心，1为半径的圆分别交AB，AC于点E，F，点P是劣弧EF上的一点，则PB·PC的取值范围是________．答案：[－11，－9]解析：以A为原点，分别以BC的中垂线和平行线为y轴、x轴建立直角坐标系，由∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，可得B(－2，－2)，C(2，－2)．因为＝1，可设P(cosα，sinα)，≤α≤，－1≤sinα≤－，则PB•PC＝－7＋4sinα∈[－11，－9]．10.在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴的对称点为Q，且OP·OQ＝2，已知点A(－2，0)，B(2，0)，则(|PA|－|PB|)2＝________．答案：8解析：设P(x0，y0)，则Q(x0，－y0)，所以OP·OQ＝(x0，y0)·(x0，－y0)＝2，即y＝x－2，得x0≥或x0≤－，故(|PA|－|PB|)2＝(－)2＝2(|x0＋1|－|x0－1|)2＝2×22＝8.11.已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1，2)．(1)若a∥b，求tanθ的值；(2)若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求θ的值．解：(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.(2)由|a|＝|b|知sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5，从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋)＝－.又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜，所以2θ＋＝或2θ＋＝，因此θ＝或θ＝.12.设在平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α＜360°)，b＝(－，)，且a，b不共线．(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)当向量a＋b与a－b的模相等时，求α的大小．(1)证明：因为(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－(＋)＝0，故a＋b与a－b垂直．(2)解：由|a＋b|＝|a－b|，两边平方得3|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋3|b|2，所以2(|a|2－|b|2)＋4a·b＝0.而|a|＝|b|，所以a·b＝0，则(－)×cosα＋sinα＝0，即cos(α＋60°)＝0，所以α＋60°＝k·180°＋90°，k∈Z.即α＝k·180°＋30°，k∈Z.因为0°≤α<360°，所以α＝30°或α＝210°.13.在锐角三角形ABC中，m＝(sinA，cosA)，n＝(，－1)，m·n＝1.(1)求角A的大小；(2)求cos2B＋4cosAsinB的取值范围．解：(1)由题意得m·n＝sinA－cosA＝1，所以2sin(A－)＝1，即sin(A－)＝.因为0
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