2017高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.4直线与圆锥曲线的位置关系对点训练理1．过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A、B两点，且|PA|＝|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为()A.B.C.D．2答案A解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，分别过点A、B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为点D、E. |PA|＝|AB|，∴又得x1＝，则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋＝.2．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.B.C.D.答案D解析由已知得F，故直线AB的方程为y＝tan30°·，即y＝x－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立将①代入②并整理得x2－x＋＝0，∴x1＋x2＝，∴线段|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12.又原点(0,0)到直线AB的距离为d＝＝.∴S△OAB＝|AB|d＝×12×＝.3.已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.B.C.D.答案D解析由题意可知准线方程x＝－＝－2，∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x.由已知易得过点A与抛物线y2＝8x相切的直线斜率存在，设为k，且k>0，则可得切线方程为y－3＝k(x＋2)．联立方程消去x得ky2－8y＋24＋16k＝0.(*)由相切得Δ＝64－4k(24＋16k)＝0，解得k＝或k＝－2(舍去)，代入(*)解得y＝8，把y＝8代入y2＝8x，得x＝8，即切点B的坐标为(8,8)，又焦点F为(2,0)，故直线BF的斜率为.4．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA·OB＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A．2B．3C.D.答案B解析设AB所在直线方程为x＝my＋t.由消去x，得y2－my－t＝0.设A(y，y1)，B(y，y2)(不妨令y1>0，y2<0)，故y＋y＝m，y1y2＝－t.而OA·OB＝yy＋y1y2＝2.解得y1y2＝－2或y1y2＝1(舍去)．所以－t＝－2，即t＝2.所以直线AB过定点M(2,0)．而S△ABO＝S△AMO＋S△BMO＝|OM||y1－y2|＝y1－y2，S△AFO＝|OF|×y1＝×y1＝y1，故S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋y1＝y1－y2.由y1－y2＝y1＋(－y2)≥2＝2＝3，1得S△ABO＋S△AFO的最小值为3，故选B.5．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．答案解析直线x－y＋1＝0与双曲线x2－y2＝1的一条渐近线x－y＝0平行，这两条平行线之间的距离为，又P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点，点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则c≤，即实数c的最大值为.6．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．答案±1解析设直线AB方程为x＝my－1(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线和抛物线方程，整理得，y2－4my＋4＝0，由根与系数关系得y1＋y2＝4m，y1y2＝4.故Q(2m2－1,2m)．由|FQ|＝2知＝2，解得m2＝1或m2＝0(舍去)，故直线l的斜率等于±1(此时直线AB与抛物线相切，为满足题意的极限情况)．7．已知动点P到直线l：x＝－1的距离等于它到圆C：x2＋y2－4x＋1＝0的切线长(P到切点的距离)．记动点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)点Q是直线l上的动点，过圆心C作QC的垂线交曲线E于A，B两点，设AB的中点为D，求的取值范围．解(1)由已知得，圆心为C(2,0)，半径r＝.设P(x，y)，依题意可得|x＋1|＝，整理得y2＝6x.故曲线E的方程为y2＝6x.(2)设直线AB的方程为my＝x－2，则直线CQ的方程为y＝－m(x－2)，可得Q(－1,3m)．将my＝x－2代入y2＝6x并整理可得y2－6my－12＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝6m，y1y2＝－12，D(3m2＋2,3m)，|QD|＝3m2＋3.|AB|＝2，所以2＝＝∈，故∈.8．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点(0，)，且离心率e＝.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l：x＝my－1(m∈R)交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．解解法一：(1)由已知得，解得所以椭圆E的方程为＋＝1.2(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为H(x0，y0)．由得(m2＋2)y2－2my－3＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝－，从而y0＝.所以|GH|2＝2＋y＝2＋y＝(m2＋1)y＋my0＋.＝＝＝＝(1＋m2)(y－y1y2)，故|GH|2－＝my0＋(1＋m2)y...
