专题一函数【知识概要】一、映射●映射：映射是两个集合A、B间一种特殊的对应，表示对集合A中的任何一个元素，在集合B中有唯一确定的元素与之对应。如果，，且元素和元素对应，那么，元素叫做元素的原像，元素叫做元素的像，记为。【特别提醒】：（1）映射由三要素组成，集合A、B以及A到B的对应法则，集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合。对于A中每一个元素，在B中有且只有一个元素和它对应。（2）A中的不同元素允许对应B中的相同元素，即映射允许“多对一”、“一对一”，但不允许“一对多”。B中的元素可以在A中没有元素和它对应。二、函数的概念●1.函数的定义：如果A、B都是非空的数集，映射就叫做A到B的函数，记作：，，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．如果用表示值域，则有。通常表示“y是x的函数”，简记作函数。●2.函数的三要素：定义域A，对应法则f，值域。●3.函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法．函数解析式的求法：（1）待定系数法.若已知函数的类型，可用待定系数法；（2）换元法.已知复合函数的解析式，可用换元法，要注意变量的取值范围；（3）消参法.若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出。（4）直接法.变形后直接代换【特别提醒】函数解析式是函数表示法的一种.求函数的解析式一定要注明定义域，特别是利用换元法求解析式时，不注明定义域往往导致错解。分段函数：在定义域内不同部分上有不同的解析式，这样的函数通常叫分段函数，分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数。复合函数：如果，则称函数为和g构成的复合函数，其中分别叫做外层函数和内层函数，内层函数的值域是外层函数的定义域。●4.函数的基本性质：（1）单调性：设函数的定义域为A，区间。如果对于任意，I，当时，都有，那么就说在区间I上是单调减函数．区间I叫做的单调减区间；如果对于任意，I，当时，都有，那么就说在区间I上是单1调增函数．区间I叫做的单调增区间；单调增区间或单调减区间统称为单调区间。单调性的求解方法：①定义法:取值——作差——变形——定号——判断②复合函数：“同增异减”（2）最大（小）值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的，都有（或）；②存在，使得．那么我们称M是函数的最大（或小）值。求函数最大（小）值的常用方法：分析观察法、反函数法、分离常数法、配方法、不等式法、判别式法、利用函数的单调性法、换元法、数形结合法、导数法。函数的单调性与最值在高考中常以选择填空题形式出现，但近几年高考常以导数为工具，研究函数的单调性问题在大题中是必考内容。（3）奇偶性：如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数就叫做奇函数。奇函数的图象关于原点对称。如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数就叫做偶函数。偶函数的图象关于y轴对称。奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。【特别提醒】（1）若，则既是奇函数又是偶函数，，则是偶函数；若是奇函数且在处有定义，则.（3）函数的奇偶性常与函数的单调性、最值或周期结合考查，以选择填空题居多，且是高考考查的热点。（4）周期性：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。对于常数T，如果存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期。【特别提醒】：函数的图象是“形”与“数”的有机组合，由性质看图象，由图象研究性质是函数的永恒的主题，以图象考查函数性质是高考的常考点。●5.一些有用的结论：①奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。②在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；2③函数的单调性：单调增区间是：和；单调减区间是：和。④如果函数对于一切，都有，那么函数的图象关于直线对称。⑤函数与函数的图象关于直线对称；...
