以圆为背景的最值问题以圆为背景的最值问题，在高考和竞赛中频频出现.本文从数学思想方法的高度予以分类导析，旨在探索解题规律，总结解题方法，从而使此类问题简单化.一、切线斜率法例1如果实数xy，满足22(2)3xy，则yx的最大值为（）Ａ．12Ｂ．33Ｃ．32Ｄ．3分析：等式22(2)3xy有明显的几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为(20)，，半径3r（如图1），而00yyxx，它表示圆上的点与坐标原点(00)，的连线的斜率．如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点A在以(20)，为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值，由图1可见，当A在第一象限，且直线OA与圆相切时，其斜率最大，经简单计算，得最大值为tan603°，故选（Ｄ）．二、切线的纵截距法例2若集合3cos()(0π)3sinxMxyy，|，集合()Nxyyxb，|且MN，则b的取值范围为．分析：22()903Mxyxyy，|，≤，显然，M表示以(00)，为圆心，以3为半径的圆在x轴上方的部分（如图2），而N则表示一条直线，其斜率1k，纵截距为b，由图表易知，欲使MN，即使直线yxb与半圆有公共点，显然b的最小值为3，最大值为32，即33b2≤．三、函数的解析式法例3已知直线:(22)lykx与圆22:4Oxy相交于AB，两点，O是坐标原点，三角形AOB的面积为S．（1）试将S表示成k的函数()Sk，并求出它的定义域；（2）求三角形AOB的面积最大时k的值．解析：（1）直线l的方程220(0)kxykk，原点O到直线l的距离为2221kOCk，弦长222282241kABOAOCk，ABO△的面积为22242(1)121kkSABOCk·，用心爱心专心0AB∵，11(0)kk∴．22242(1)()(110)1kkSkkkk∴且．（2）ABO△的面积为1sin2sin2SOAOBAOBAOB·，∴当90AOB°时，S可以取得最大值2，此时222OCOA，即22221kk，故33k用心爱心专心
