每日一题规范练(第五周)[题目1](本小题满分12分)已知数列{an}中，点(an，an＋1)在直线y＝x＋2上，且首项a1＝1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝a1，b2＝a2，数列{bn}的前n项和为Tn，请写出适合条件Tn≤Sn的所有n的值．解：(1)根据已知a1＝1，an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2＝d，所以数列{an}是一个等差数列，an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.(2)数列{an}的前n项和Sn＝n2.等比数列{bn}中，b1＝a1＝1，b2＝a2＝3，所以q＝3，bn＝3n－1.数列{bn}的前n项和Tn＝＝.Tn≤Sn即≤n2，又n∈N*，所以n＝1或2.[题目2](本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2＝λab.(导学号55410160)(1)若λ＝，B＝，求sinA；(2)若λ＝4，AB边上的高为，求C.解：(1)由已知B＝，a2＋b2＝ab，结合正弦定理，得4sin2A－2sinA＋1＝0，于是sinA＝.因为0＜A＜，所以sinA＜，得sinA＝.(2)由题意可知S△ABC＝absinC＝c2，得absinC＝(a2＋b2－2abcosC)＝(4ab－2abcosC)．从而sinC＋cosC＝2，即sin＝1，又因为＜C＋＜，所以C＝.[题目3](本小题满分12分)在统计学中，偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，班主任为了了解个别学生的偏科情况，对学生数学偏差x(单位：分)与物理偏差y(单位：分)之间的关系进行学科偏差分析，决定从全班56位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如下：学生序号12345678数学偏差x20151332－5－10－18物理偏差y6.53.53.51.50.5－0.5－2.5－3.5(1)已知x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；(2)若这次考试该班数学平均分为118分，物理平均分为90.5，试预测数学成绩126分的同学的物理成绩．解：(1)由题意，计算x＝＝，y＝＝，所以a＝y－bx＝－×＝.所以线性回归方程为y＝x＋.(2)由题意，设该同学的物理成绩为ω，则物理偏差为ω－90.5.又该同学的数学偏差为126－118＝8.由(1)中回归方程得ω－90.5＝×8＋，解得ω＝93.所以能够预测这位同学的物理成绩为93分．[题目4](本小题满分12分)如图，平面五边形ABCDE中，AB∥CE，且AE＝2，∠AEC＝60°，CD＝ED＝，cos∠EDC＝.将△CDE沿CE折起，使点D移动到P的位置，且AP＝，得到四棱锥PABCE.(1)求证：AP⊥平面ABCE；(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l，求证：AB∥l.证明：(1)在△CDE中，因为CD＝ED＝，cos∠EDC＝，由余弦定理，得CE＝2.连接AC，因为AE＝2，∠AEC＝60°，所以AC＝2.又因为AP＝，所以在△PAE中，PA2＋AE2＝PE2，即AP⊥AE，同理AP⊥AC，又AC，AE⊂平面ABCE，AC∩AE＝A，故AP⊥平面ABCE.(2)因为AB∥CE，且CE⊂平面PCE，AB⊄平面PCE，所以AB∥平面PCE.又平面PAB∩平面PCE＝l，所以AB∥l.[题目5](本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数．(导学号55410161)(1)当a＝－1时，求f(x)的单调增区间；(2)当0＜－＜e时，若f(x)在区间(0，e)上的最大值为－3，求a的值；(3)当a＝－1时，试推断方程|f(x)|＝＋是否有实数根．解：(1)由已知可知函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，当a＝－1时，f(x)＝－x＋lnx，f′(x)＝，当0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＞1时，f′(x)＜0.所以f(x)的单调增区间为(0，1)．(2)因为f′(x)＝a＋，令f′(x)＝0，解得x＝－；由f′(x)＞0解得0＜x＜－；由f′(x)＜0，解得－＜x＜e.从而f(x)的单调增区间为，减区间为，所以f(x)max＝f＝－1＋ln＝－3.解得a＝－e2.(3)由(1)知当a＝－1时，f(x)max＝f(1)＝－1，所以|f(x)|≥1.令g(x)＝＋，则g′(x)＝.当0＜x＜e时，g′(x)＞0；当x＞e时，g′(x)＜0，从而g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．所以g(x)max＝g(e)＝＋＜1，所以|f(x)|＞g(x)，即|f(x)|＞＋，所以方程|f(x)|＝＋没有实数根．[题目6](本小题满分12分)已知圆C：(x－1)2＋y2＝，一动圆与直线x＝－相切且与圆C外切．(1)求动圆圆心P的轨迹T的方程；(2)若经过定点Q(6，0)的直线l与曲线T相交于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的平行线与曲线T相交于点N，试问是否存在直线l，使得NA⊥NB，若存在，求出直线l的方程，若不存在，...
