课时限时检测(四十三)空间向量及其运算(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．有四个命题：①若p＝xa＋yb，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p＝xa＋yb；③若MP＝xMA＋yMB，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则MP＝xMA＋yMB.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】B2．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则(x，y，z)为()A.B.C.D.【答案】A3．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为()A．－2B．－C.D．2【答案】D4．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝()A．9B．－9C．－3D．3【答案】B5．A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，M为BC中点，则△AMD是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定【答案】C6．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则AE·AF的值为()A．a2B.a2C.a2D.a2【答案】C二、填空题(每小题5分，共15分)7．若三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)在同一条直线上，则a＝，b＝.【答案】328．空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于．【答案】图7－6－7图7－6－89．如图7－6－8所示，在45°的二面角α－l－β的棱上有两点A、B，点C、D分别在α、β内，且AC⊥AB，∠ABD＝45°，AC＝BD＝AB＝1，则CD的长度为．【答案】三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)如图7－6－9所示，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.图7－6－9(1)求证：A、E、C1、F四点共面；(2)若EF＝xAB＋yAD＋zAA1，求x＋y＋z的值．【解】(1)证明∵AC1＝AB＋AD＋AA1＝AB＋AD＋AA1＋AA1＝＋＝(AB＋BE)＋(AD＋DF)＝AE＋AF.∴A、E、C1、F四点共面．(2)∵EF＝AF－AE＝AD＋DF－(AB＋BE)＝AD＋DD1－AB－BB1＝－AB＋AD＋AA1.∴x＝－1，y＝1，z＝.∴x＋y＋z＝.11．(12分)已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得OE⊥b？(O为原点)【解】(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝＝5.(2)令AE＝tAB(t∈R)，所以OE＝OA＋AE＝OA＋tAB＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，若OE⊥b，则OE·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝.因此存在点E，使得OE⊥b，此时E点的坐标为.12．(12分)如图7－6－10，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1，A1A的中点．图7－6－10(1)求BN的模；(2)求cos〈BA1，CB1〉的值；(3)求证：A1B⊥C1M.【解】如图，建立空间直角坐标系O—xyz.(1)依题意得B(0,1,0)、N(1,0,1)，∴|BN|＝＝.(2)依题意得A1(1,0,2)、B(0,1,0)、C(0,0,0)、B1(0,1,2)，∴BA1＝(1，－1,2)，CB1＝(0,1,2)，BA1·CB1＝3，|BA1|＝，|CB1|＝，∴cos〈BA1·CB1〉＝＝.(3)证明依题意，得C1(0,0,2)、M，A1B＝(－1,1，－2)，C1M＝.∴A1B·C1M＝－＋＋0＝0，∴A1B⊥C1M.
