模块综合测评(B)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知命题p:若θ=150°,则sinθ=12,则在命题p的逆命题、否命题、逆否命题中,正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3解析原命题正确,所以逆否命题为真,逆命题和否命题都是假命题,故只有1个为真命题.答案B2.若抛物线y=ax2的焦点坐标为(0,2),则a的值为()A.18B.14C.8D.4解析抛物线的标准方程为x2=1ay,因为抛物线y=ax2的焦点坐标为(0,2),所以14a=2,所以a=18,故选A.答案A3.与向量a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是()A.(13,1,1)B.(-1,-3,2)C.(-12,32,-1)D.(√2,-3,-2√2)解析因为1-12=-332=2-1=-2,即a=-2(-12,32,-1),所以(-12,32,-1)与a平行.答案C4.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=2,且它的一个顶点到较近焦点的距离为1,则双曲线C的方程为()A.x2-y23=1B.x23-y2=1C.x2√3-y2=1D.x2-y29=1解析双曲线中,顶点与较近焦点距离为c-a=1.又e=ca=2,两式联立得a=1,c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3,∴方程为x2-y23=1.答案A15.若命题s:∃x0>2,x02-3x0+2>0,则()A.s:∃x>2,x2-3x+2≤0B.s:∀x>2,x2-3x+2≤0C.s:∃x≤2,x2-3x+2≤0D.s:∀x≤2,x2-3x+2≤0解析原命题s是特称命题,其否定应为全称命题.答案B6.已知三棱锥O-ABC,点M,N分别为边AB,OC的中点,P是MN上的点,满足⃗MP=2⃗PN,设⃗OA=a,⃗OB=b,⃗OC=c,则⃗OP等于()A.16a+16b-13cB.16a+13b+16cC.13a+16b+16cD.16a+16b+13c解析 ⃗OM=12¿),⃗ON=12⃗OC,∴⃗MN=⃗ON−⃗OM=12¿).∴⃗OP=⃗OM+23⃗MN=16a+16b+13c,故选D.答案D7.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右顶点分别为A1,A2,直线x=2a与一条渐近线交于点P,若|A1A2|=|PA2|,则双曲线的离心率为()A.√52B.√2C.√72D.2√332解析A1(-a,0),A2(a,0),不妨设点P在渐近线y=bax上,则P(2a,2b),由|A1A2|=|PA2|可得4a2=a2+4b2,又b2=c2-a2,所以7a2=4c2,e=ca=√72.答案C8.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为1的正方形,若∠A1AB=∠A1AD=60°,且A1A=3,则A1C的长为()A.√5B.2√2C.√14D.√17解析因为⃗A1C=⃗A1B1+⃗A1D1+⃗A1A,所以|⃗A1C|2=(⃗A1B1+⃗A1D1+⃗A1A)2=|⃗A1B1|2+|⃗A1D1|2+|⃗A1A|2+2(⃗A1B1·⃗A1D1+⃗A1B1·⃗A1A+⃗A1D1·⃗A1A)=1+1+9+2(0+1×3×cos120°+1×3×cos120°)=5,故A1C的长为√5.答案A9.若点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点,则⃗PA·⃗PC1的取值范围是()A.[-1,-14]B.[-12,-14]C.[-1,0]D.[-12,0]解析以D为原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C1(0,1,1),设P(x,y,1)(0≤x≤1,0≤y≤1).则⃗PA=(1-x,-y,-1),⃗PC1=(-x,1-y,0),于是⃗PA·⃗PC1=x2-x+y2-y=(x-12)2+(y-12)2−12.因为0≤x≤1,0≤y≤1,所以0≤(x-12)2≤14,0≤(y-12)2≤14,故-12≤(x-12)2+(y-12)2−12≤0.答案D10.已知点P在抛物线y2=4x上,点A(5,3),F为该抛物线的焦点,则△PAF周长的最小值为()A.9B.10C.11D.12解析由题意,画出图象(见下图),F(1,0),|AF|=√(5-1)2+32=5,过A点作准线l的垂线AD交直线l于D,设P到准线的距离为d,则|PF|=d,则△PAF周长=|PF|+|PA|+|AF|=d+|PA|+5,当P、A、D三点共线时,d+|PA|取得最小值,△PAF周长最小为5-(-1)+5=11.故答案为C.3答案C11.已知直线3x-y+6=0经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1,且与椭圆在第二象限的交点为M,与y轴的交点为N,F2是椭圆的右焦点,且|MN|=|MF2|,则椭圆的方程为()A.x240+y24=1B.x25+y2=1C.x210+y2=1D.x210+y26=1解析直线3x-y+6=0与x轴、y轴分别交于点(-2,0),(0,6),因此F1(-2,0),N(0,6),于是c=2.又因为2a=|MF1|+|MF2|=|MN|+|MF1|=|NF1|=√22+62=2√10,于是a=√10,从而b2=10-4=6,故椭圆方程为x210+y26=1.答案D12.如图,四面体ABCD中,AB,BC,BD两两垂直,BC=BD=2,点E是CD的中点,异面直线AD与BE所成角的余弦值为√1010,则直线BE与平面ACD所成角的正弦值为()A.√23B.23C.2√23D.13解析以B为原点,BC,BD,BA所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设AB=a,则A(0,0,a),E(1,1,0),B(0,0,0),C(2,0,0),D(0,2,0),于是⃗AD=(0,2,-a),⃗BE=(1,1,0),则|cos<⃗AD,⃗BE>|=√1010,于是2√2·√a2+4=√1010,解得a=4或a=-4(舍).这时⃗AC=(2,0,-4),⃗AD=(0,2,...
