考点28组合体的“切”“接”综合问题一、知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:1.1球的性质球被平面截得的图形是圆，球心与截面圆圆心的连线与截面圆垂直，球的半径R，截面圆的半径，球心到截面圆的距离为，则.1.2长方体性质：长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.1.3几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为，球的半径为，①正方体的外接球，则；②正方体的内切球，则；③球与正方体的各棱相切，则.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为，外接球的半径为，则.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1.4与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图.1.5.解决与球有关的切、接问题的方法：(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．(2)若球面上四点中两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．1.6.求解球与多面体的组合问题时，其关键是确定球心的位置，可以根据空间几何体的对称性判断球心的位置，然后通过作出辅助线或辅助平面确定球的半径和多面体中各个几何元素的关系，达到求解解题需要的几何量的目的．2.命题规律展望：球与多面体、旋转体的“切”、“接”问题，是高考的热点和重点，主要以球与多面体、旋转体的“切”、“接”问题考查球的性质、多面体与旋转体的特征、球的表面积、体积，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，题型为选择题或填空题，难度为中档题或难题，分值为5分值.二、题型与相关高考题解读1.棱柱的外接球问题1.1考题展示与解读例1【2017课标II，文15】长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为________．【命题意图探究】本题主要考查长方体的对角线性质、球的表面积公式,是容易题.【答案】【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力【方法技巧归纳】对球内接直棱柱问题，利用球心到棱柱底面所在的截面圆的距离就是棱柱高的一半，棱柱底面所在的截面圆的半径利用正弦定理计算，再利用球的截面性质即可求出球的半径，再利用球的表面积或体积公式计算球的表面积或体积.1.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A.B.C.D.【答案】B【变式2：改编结论】底面边长为，侧棱长为的正三棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（)A.B.C.D.【答案】D【解析】分别取上下底面三角形的中心O1，O2，则球心为O1O2的中点M，设底面三角形的外接圆半径为R，则：，解得：，据此可得，外接球半径为：，所以该球的体积为：，故选D.【变式3：改编问法】已知某几何体的外接球的半径为，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为（）A.16B.C.D.8【答案】C【解析】由该三视图可知：该几何体是一个正方体，切去四个角所得的正四面体，其外接球等同于该正方体的外接球，设正方体的棱长为，则有，故该正四面体的体积为，选C.2.球与圆柱或圆锥的切接问题2.1考题展示与解读例2【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．A．B．C．D．【命题意图探究】本题主要考查球内接圆柱的体积问题，是基础题.【答案】B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，结合勾股定理，底面半径，由圆柱的体积公式可得：圆柱的体积是，故选B.【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力【方法技巧归纳】对球内接圆柱问题，利用球的截面性质沟通球的半径与圆柱底面半径高之间的关系.2.2【典型考题变式】【变式1：改...
