核心素养测评三十二等差数列(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若等差数列{an}的公差为d,则数列{}是()A.公差为d的等差数列B.公差为2d的等差数列C.公差为nd的等差数列D.非等差数列【解析】选B.数列{}其实就是a1,a3,a5,a7,…,奇数项组成的数列,它们之间相差2d.2.在等差数列{an}中,已知a2=2,前7项和S7=56,则公差d=()A.2B.3C.-2D.-3【解析】选B.由题意可得即解得【一题多解】选B.由等差数列的性质S7=7a4=56,所以a4=8,因此d==3.3.(2020·贵阳模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=2a3,则=()A.B.C.D.【解析】选D.===.4.(2020·济南模拟)已知等差数列{an}的公差d为4,项数为偶数,所有奇数项的和为15,所有偶数项的和为55,则这个数列的项数为()A.10B.20C.30D.40【解析】选B.设等差数列{an}的项数为n,前n项和为Sn,则S偶-S奇=d=2n=40,n=20,即这个数列的项数为20.5.(多选)(2020·海南联考)在等差数列{an}中,已知a3+a9=0,且S9<0,则S1、S2、…、S9中最小的是()A.S5B.S6C.S7D.S8【解析】选AB.在等差数列{an}中,因为a3+a9=0,S9<0,所以a3+a9=2a6=0,S9==9a5<0,所以a5<0,a6=0,所以S1、S2、…、S9中最小的是S5或S6.【变式备选】(2019·北京高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=-3,S5=-10,则a5=________,Sn的最小值为________.【解析】设公差为d,a2=a1+d=-3,S5=5a1+d=-10,即a1+2d=-2,解得a1=-4,d=1,所以a5=a1+4d=0,Sn=na1+d=,当n=4或5时,Sn最小,为-10.答案:0-10二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足-=1,则数列{an}的公差是________.【解析】设等差数列{an}的公差为d,因为-=1,所以2-3=6,所以6a1+6d-6a1-3d=6,所以d=2.答案:27.(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,a1≠0,a2=3a1,则=________.【解析】设该等差数列的公差为d,因为a2=3a1,所以a1+d=3a1,故d=2a1(a1≠0,d≠0),所以====4.答案:48.已知{an},{bn}都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6=________.【解析】因为{an},{bn}都是等差数列,所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6),即2×15=9+(a5+b6),解得a5+b6=21.答案:21三、解答题(每小题10分,共20分)9.在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3,解得d=-2,从而an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.(2)由(1)可知an=3-2n.所以Sn==2n-n2.由Sk=-35可得2k-k2=-35,即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.又k∈N*,故k=7.10.设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列的前n项和,求Tn.【解析】设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)d.因为S7=7,S15=75,所以即解得a1=-2,d=1.所以=a1+(n-1)d=-2+(n-1),因为-=,所以数列是等差数列,其首项为-2,公差为,所以Tn=n2-n.(15分钟35分)1.(5分)现给出以下几个数列:①2,4,6,8,…,2(n-1),2n;②1,1,2,3,…,n;③常数列a,a,a,…,a;④在数列{an}中,已知a2-a1=2,a3-a2=2.其中一定是等差数列的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①由4-2=6-4=…=2n-2(n-1)=2得数列2,4,6,8,…,2(n-1),2n为等差数列;②因为1-1=0≠2-1=1,所以数列1,1,2,3,…,n不是等差数列;③常数列a,a,a,…,a为等差数列;④当数列{an}仅有3项时,数列{an}是等差数列,当数列{an}的项数超过3项时,数列{an}不一定是等差数列,故一定是等差数列的个数为2.2.(5分)已知等差数列{an}的前9项和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97【解析】选C.设{an}的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得解得an=a1+(n-1)d=n-2,所以a100=100-2=98.3.(5分)(2020·潍坊模拟)已知数列是等差数列,Sn是其前n项的和,则下列命题中真命题是()A.若a5>a3,则a8>0B.若a5>a3,则S8>0C.若S5>S3,则S8>0D.若S5>S3,则a8>0【解析】选C.令等差数列的公差d=1,a1=-12,对A选项,a5=-8>a3=-10,而a8=-5<0,故A错误;对B选项,因为a1=-12<0,a8=-5<0,所以S8=<0,故B错误;又对D选项,令等差数列的d=-2,a1=12,因为S5-S3=a5+a4=4+6=10>0,a8=-2<0,故D错误;对C选项,因为S5-S3=a5+a4=a1+a8>0,所以S8=>0.【变式备选】已知数列{an}中,a2=,a5=,且是等差数列,则a7=()A.B.C....
