高考数学复习点拨 例析圆中“弦长公式”的应用VIP免费

例析圆中“弦长公式”的应用当直线和圆相交时，得一个弦长（设为AB），根据圆的图形几何性质：半弦长、半径r，弦心距d构成直角三角形：222ABrd．在解答有关弦长问题时，若注意使用圆中这一特有的“弦长公式”，会突出几何直观性，减少运算量，有事半功倍的作用，例析如下：一、求公共弦长例1已知圆2212610Cxyxy和圆222:42110Cxyxy，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．分析：因为两个圆的交点坐标同时满足两个圆的方程，联立方程组求得交点可得直线方程，但若应用圆系方程求弦所在的直线方程更为简洁，再利用弦长公式求出公共弦长．解：如图1，设两圆的交点为1122()()AxyBxy，，，，则AB，两点的坐标是方程组2222261042110xyxyxyxy，的解，两个式子相减，得3460xy．由于AB，两点的坐标都满足此方程，故3460xy为两圆的公共弦所在的直线方程．易知圆1C的圆心为(13)，，半径为3r．又1C到直线:3460ABxy的距离为22134369534d，222292422355ABrd∴．二、求直线的方程例2(30)P，为圆2282120xyxy内一点，求过P点的最短的弦所在直线的方程．解析：过点(30)P，的直线有无数条，如图2，设其中一条与圆交于AB两点，若半径为r，圆心到直线的距离为d，则根据圆的几何性质得到222ABrd，则根据圆的几何性质得到222ABrd，由于半径r是定值，弦AB最短时，应当是距离d最大，只有当(30)P，为弦AB中点时，才满足题意．由圆2282120xyxy变形，得22(4)(1)5xy，用心爱心专心圆心为(41)M，，10143PMk，ABPM，1PMk．故所求直线方程为30xy．例3求过点(64)P，且被圆2220xy截得的弦长为62的弦所在的直线方程．解析：由题意易知，直线斜率k存在且0k，设过点(04)P，的直线方程为4(6)ykx，圆心(00)，到直线的距离2641kdk，半径为25r，由弦长公式222ABrd，22264622(25)1kk∴．解得1k或717k．故所求直线方程为20xy或717260xy．三、求圆的方程例4已知圆的半径为10，圆心在直线2yx上，圆被直线0xy截得的弦长为42，求圆的方程．解析：根据图形的几何性质：半径、弦心距、半弦长构成直角三角形且222ABrd，则22224(10)10822ABdr22，又弦心距等于圆心到直线0xy的距离，设圆心坐标为()ab，，22abd∴．又知2ba，故24ab，；或24ab，．∴所求圆的方程为22(2)(4)10xy或22(2)(4)10xy．用心爱心专心