命题角度5：恒成立与存在性问题1.已知a＜0，曲线f（x）=2ax2+bx+c与曲线g（x）=x2+alnx在公共点（1，f（1））处的切线相同．（Ⅰ）试求c-a的值；（Ⅱ）若f（x）≤g（x）+a+1恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）c-a=-1（2）a∈[-1，0）．【解析】试题分析：（I）利用列方程组，即可求得的值.（II）构造函数，将不等式恒成立问题转化为恒成立问题来解.利用导数可求得函数最大值.(Ⅱ)设，则，恒成立， ，∴，法一：由，知和在上单调递减，得在上单调递减，又，得当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，得，由题意知，得，所以．点睛：本题考查函数导数与切线，考查函数导数与不等式恒成立问题的求解策略.根据题目的已知条件“同一点的切线相同”也即是分成两个条件：切点相同、在切点的斜率也相同.根据这两个条件可以得到两个方程，但是一共有个参数，故无法解出个未知的参数，只能用作差的方法求得的值.2.设函数（1）求的单调区间；（2）若为整数，且当时，恒成立，其中为的导函数，求的最大值.【答案】（1）f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增（2）2【解析】试题分析：（1）先求导数，根据a的大小讨论导函数是否变号：若a≤0，导函数恒非负，为单调增区间；若a＞0，导函数符号变化，先负后正，对应先减后增（2）分类变量得，再利用导数求最小值：在极小值点取最小值，根据极值定义得及零点存在定理确定范围，化简最小值为，并确定其范围为（2,3），因此可得正整数的最大值.试题解析：（1）函数f（x）=ex-ax-2的定义域是R，f′（x）=ex-a，若a≤0，则f′（x）=ex-a≥0，所以函数f（x）=ex-ax-2在（-∞，+∞）上单调递增若a＞0，则当x∈（-∞，lna）时，f′（x）=ex-a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=ex-a＞0；所以，f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增（2）由于a=1，令，，令，在单调递增，且在上存在唯一零点，设此零点为，则当时，，当时，，由，又所以的最大值为2点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.3.已知函数的极小值为0.（1）求实数的值；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由极小值的定义知道，只需要令，解得，且描述两侧的单调性；（2）原式子转化为在上恒成立；求导，研究导函数的正负即可，从而得到函数的单调性和最值即可。（1） ，令，解得，∴在上单调递减，在上单调递增，故的极小值为，由题意有，解得.（2）由（1）知不等式对任意恒成立， ，∴在上恒成立， 不妨设，，则.当时，，故，∴在上单调递增，从而，∴不成立.当时，令，解得，若，即，当时，，在上为增函数，故，不合题意；若，即，当时，，在上为减函数，故，符合题意综上所述，的取值范围为.点睛：本题考查导数在研究函数极值与最值的过程中的应用；第二问恒成立求参的问题，解决方法有如下几种：第一，可以考虑参变分离，再转化为函数最值问题；第二，直接含参讨论，研究函数的单调性和最值。4.设函数(为自然对数的底数），.（1）证明：当时，没有零点；（2）若当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由，令，，把没有零点，可以看作函数与的图象无交点，求得直线与曲线无交点，即可得到结论.（2）由题意，分离参数得，设出新函数，得出函数的单调性，求解函数的最小值，即可求解的取值范围.解法二：由得，令，，则没有零点，可以看作函数与的图象无交点，设直线切于点，则，解得，∴，代入得，又，∴直线与曲线无交点，即没有零点.（2）当时，，即，∴，即.令，则.当时，恒成立，令，解得；令，解得，∴在上单调递减，在上单调递增，∴.∴的取值范围是.点睛：本题主要考查了导数在函数问题的综合应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用求解函数的极值与最值，以及导数的几何意义等知识点的综合运用，同时着重考查了分离参数思想和构造...
