【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第1章直线、多边形、圆1.3.1圆内接四边形1.3.2托勒密定理学业分层测评北师大版选修4-1(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.设四边形ABCD为圆内接四边形，现给出四个关系式：①sinA＝sinC，②sinA＋sinC＝0，③cosB＋cosD＝0，④cosB＝cosD.其中恒成立的关系式的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】因为圆内接四边形的对角互补，故∠A＝180°－∠C，且∠A，∠C均不为0°或180°，故①式恒成立，②式不成立.同样由∠B＝180°－∠D知，③式恒成立.④式只有当∠B＝∠D＝90°时成立.【答案】B2.已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有()①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4).因此得出①③正确，②④错误.【答案】B3.如图1315，ABCD是⊙O的内接四边形，AH⊥CD，如果∠HAD＝30°，那么∠B等于()图1315A.90°B.120°C.135°D.150°【解析】 ∠HAD＝30°，∠AHD＝90°，∴∠D＝60°，则∠B＝120°.【答案】B4.如图1316，四边形ABCD内接于⊙O，∠DCE＝50°，则∠BOD等于()1图1316A.75°B.90°C.100°D.120°【解析】 四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DCE＝∠A，∴∠A＝50°，∴∠BOD＝2∠A＝100°.【答案】C5.如图1317，四边形ABCD为圆内接四边形，AC为BD的垂直平分线，∠ACB＝60°，AB＝a，则CD等于()图1317A.aB.aC.aD.a【解析】 AC为BD的垂直平分线，∴AB＝AD＝a，AC⊥BD， ∠ACB＝60°，∴∠ADB＝60°，∴AB＝AD＝BD，∴∠ACD＝∠ABD＝60°，∴∠CDB＝30°，∴∠ADC＝90°，∴CD＝tan30°·AD＝a.【答案】A二、填空题6.圆内接四边形ABCD中，∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3，则∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝__________.∠D＝__________.【导学号：96990039】【解析】 ∠B＋∠D＝180°，∠B∶∠D＝1∶3，∴∠B＝45°，∠D＝135°.又∠B∶∠C＝1∶2，∴∠C＝90°.又∠A＋∠C＝180°，∴∠A＝90°【答案】90°45°90°135°7.(陕西高考)如图1318，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.2图1318【解析】法一：连接CE，则∠BEC＝90°， AC＝2AE.∴∠ACE＝30°，∠A＝60°，△ABC为等边三角形，在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，∴CE为∠ACB的平分线，∴\s\up14(︵)＝\s\up14(︵)，∴BE＝EF＝BC＝3.法二： B，C，F，E四点在同一个圆上，∴∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴＝，即＝，∴EF＝3.【答案】38.如图1319，AB＝10cm，BC＝8cm，CD平分∠ACB，则AC＝__________，BD＝__________.图1319【解析】∠ACB＝90°，∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6.又 CD平分∠ACB，即∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD，∴BD＝＝5.【答案】6cm5cm三、解答题9.如图1320，BA是⊙O的直径，延长BA至E，使得AE＝AO，过E点作⊙O的割线交⊙O于D，C，使得AD＝DC.图1320(1)求证：OD∥BC；(2)若ED＝2，求⊙O的内接四边形ABCD的周长.【解】(1)证明：连接AC， OD是⊙O的半径，AD＝DC，∴OD⊥AC，又 ∠BCA＝90°，∴BC⊥AC，∴OD∥BC.(2)由(1)及EA＝AO，ED＝2，知＝＝＝，∴EC＝3. ED·EC＝EA·EB＝3EA2，3∴3EA2＝2×3，即EA＝. CD＝EC－ED＝1，BC＝OD＝EA＝，∴四边形ABCD的周长为AD＋CD＋BC＋BA＝2＋.10.如图1321，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根，图1321(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径.【证明】(1)如图，连接DE，在△ADE和△ACB中，AD·AB＝mn＝AE·AC，即＝.又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB.因此∠ADE＝∠ACB.所以C，B，D，E四点共圆.(2)m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12...
