第十节第三课时导数的综合应用课时作业A组——基础对点练1．(2018·榆林市模拟)定义在R上的函数f(x)，满足(x－1)f′(x)≤0，且y＝f(x＋1)为偶函数，当|x1－1|＜|x2－1|时，有()A．f(x1)≥f(x2)B．f(x1)＝f(x2)C．f(x1)＞f(x2)D．f(x1)≤f(x2)解析：因为函数y＝f(x＋1)为偶函数，所以y＝f(x＋1)＝f(－x＋1)，即函数y＝f(x)关于x＝1对称，所以f(2－x1)＝f(x1)，f(2－x2)＝f(x2)．当x＞1时，f′(x)≤0，此时函数y＝f(x)单调递减，当x＜1时，f′(x)≥0，此时函数y＝f(x)单调递增．①若x1≥1，x2≥1，则由|x1－1|＜|x2－1|，得x1－1＜x2－1，即1≤x1＜x2，所以f(x1)＞f(x2)．②同理若x1＜1，x2＜1，由|x1－1|＜|x2－1|，得－(x1－1)＜－(x2－1)，即x2＜x1＜1，所以f(x1)＞f(x2)．③若x1，x2中一个大于1，一个小于1，不妨设x1＜1，x2≥1，则－(x1－1)＜x2－1，可得1＜2－x1＜x2，所以f(2－x1)＞f(x2)，即f(x1)＞f(x2)．综上有f(x1)＞f(x2)．答案：C2．对∀x∈R，函数f(x)的导数存在，若f′(x)>f(x)，且a>0，则以下说法正确的是()A．f(a)>ea·f(0)B．f(a)
f(0)D．f(a)0，故g(x)＝为R上的单调递增函数，因此g(a)>g(0)，即>＝f(0)，所以f(a)>ea·f(0)，选A.答案：A3．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是()A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)解析： 2x(x－a)<1，∴a>x－.令f(x)＝x－，∴f′(x)＝1＋2－xln2>0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)>f(0)＝0－1＝－1，∴a的取值范围为(－1，＋∞)，故选D.答案：D4．已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f′(x)，若p：∀x1，x2∈R，且x1≠x2，||＜2017，q：∀x∈R，|f′(x)|＜2017，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为∀x1，x2∈R，且x1≠x2，所以不妨设x1＜x2，则由||＜2017可得|f(x1)－f(x2)|＜2017x2－2017x1，则，即.令g(x)＝f(x)＋2017x，则由单调性的定义可知g(x)在R上单调递增，所以g′(x)＝f′1(x)＋2017≥0在R上恒成立，即f′(x)≥－2017在R上恒成立，同理令h(x)＝f(x)－2017x，可得f′(x)≤2017在R上恒成立，所以p等价于∀x∈R，|f′(x)|≤2017，显然q可以推出p，而p推不出q，所以p是q的必要不充分条件．答案：B5．(2018·昆明市检测)已知函数f(x)＝若方程f(x)－ax＝0恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围是()A．(0，)B．[，)C．(，]D．(－∞，0]∪[，＋∞)解析：方程f(x)－ax＝0有两个不同的实根，即直线y＝ax与函数f(x)的图象有两个不同的交点．作出函数f(x)的图象如图所示．当x＞1时，f(x)＝lnx，得f′(x)＝，设直线y＝kx与函数f(x)＝lnx(x＞1)的图象相切，切点为(x0，y0)，则＝＝，解得x0＝e，则k＝，即y＝x是函数f(x)＝lnx(x＞1)的图象的切线，当a≤0时，直线y＝ax与函数f(x)的图象有一个交点，不合题意；当0＜a＜时，直线y＝ax与函数f(x)＝lnx(x＞1)的图象有两个交点，但与射线y＝x＋1(x≤1)也有一个交点，这样就有三个交点，不合题意；当a≥时，直线y＝ax与函数f(x)的图象至多有一个交点，不合题意；只有当≤a＜时，直线y＝ax与函数f(x)的图象有两个交点，符合题意．故选B.答案：B6．已知函数f(x)＝m－2lnx(m∈R)，g(x)＝－，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f(x0)－C．－e0，所以由g′(x)＝0，解得x＝－1，当x>－1时，g′(x)>0，函数g(x)为增函数；当x<－1时，g′(x)<0，函数g(x)为减函数，所以当x＝－1时函数g(x)有最小值；g(－1)＝－e－1＝－.画出函数y＝xex的图象，如图所示，显然当－
