2.4.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质A级基础巩固一、选择题1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是()A．1B．2C．4D．8解析：y2＝8x的焦点到准线的距离p＝4.答案：C2．以抛物线y2＝2px(p＞0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．以上三种均有可能答案：B3．过抛物线y2＝2px的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则∠A1FB1＝()A．90°B．45°C．30°D．60°答案：A4．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.B.C.D．0解析：抛物线y＝4x2的准线方程是y＝－，设M(x，y)是图象上任一点，由抛物线定义知，y＋＝1，所以y＝.答案：B5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B．1C.D.解析：由抛物线的定义知|AD|＋|BC|＝|AF|＋|BF|＝3，所以|MN|＝，又由于准线l的方程为x＝－，所以线段AB中点到y轴的距离为－＝.答案：C二、填空题6．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．答案：67．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为1，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________．解析：如图，由直线AF的斜率为－得∠AFH＝60°，∠FAH＝30°，1所以∠PAF＝60°.又由抛物线的定义知|PA|＝|PF|，所以△PAF为等边三角形，由|HF|＝4得|AF|＝8，所以|PF|＝8.答案：88．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是________．解析：根据x2＝8y，所以F(0，2)，准线y＝－2，所以F到准线的距离为4，当以F为圆心、以|FM|为半径的圆与准线相切时，|MF|＝4，即M到准线的距离为4，此时y0＝2，所以显然当以F为圆心，以|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交时，y0∈(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)三、解答题9．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则称AB为抛物线的焦点弦．求证：(1)y1y2＝－p2；x1x2＝；(2)＋＝.证明：(1)如图所示．抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，准线方程：x＝－.设直线AB的方程为x＝ky＋，把它代入y2＝2px，化简，得y2－2pky－p2＝0.所以y1y2＝－p2，所以x1x2＝·＝＝＝.(2)根据抛物线定义知PA＝AA1＝x1＋，FB＝BB1＝x2＋，所以＋＝＋＝＋＝＝＝＝.10．已知P为抛物线y2＝4x上的动点，过P分别作y轴与直线x－y＋4＝0的垂线，垂足分别为A，B，求|PA|＋|PB|的最小值．2解：如图，延长PA交准线l于A′，焦点F(1，0)，＝1.|PA|＋|PB|＝|PA′|－1＋|PB|＝|PF|＋|PB|－1当F，P，B共线时，|PA|＋|PB|最小，即转化为F到x－y＋4＝0的距离减去1.此时d＝＝，所以|PA|＋|PB|的最小值为－1.综上所述，|PA|＋|PB|最小值为－1.B级能力提升1．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为()A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝x答案：C2．已知AB为抛物线y＝x2上的动弦，且|AB|＝a(a为常数且a≥1)，则弦AB的中点M离x轴的最近距离为________．解析：如图所示，设A，M，B点的纵坐标分别为y1，y2，y3，A，M，B三点在抛物线准线上的射影分别为A′，M′，B′.由抛物线的定义，|AF|＝|AA′|＝y1＋，|BF|＝|BB′|＝y3＋.所以y1＝|AF|－，y3＝|BF|－.又M是线段AB的中点，所以y2＝(y1＋y3)＝≥×＝(2a－1)．等号成立的条件是A，F，B三点共线，即AB为焦点弦．又|AB|＝a≥1，所以AB可以取为焦点弦，即等号可以成立，所以中点M到x轴的最近距离为(2a－1)．答案：(2a－1)3．在抛物线y＝4x2上求一点，使这点到直线y＝4x－5的距离最短．解：法一：设抛物线上任意一点坐标为P(x，4x2)，则点P到直线y＝4x－5的距离是：d＝＝＝＝，所以当x＝时，d取最小值．此时y＝4x2＝4×＝1，所以所求点的坐标.3法二：由数形结合可知，所求点应为与直线y＝4x－5平行且与抛物线y＝4x2相切时的切点．设平行于直线y＝4x－5的切线为y＝4x＋b.由消去y得，4x2－4x－b＝0.因为直线与抛物线相切，所以Δ＝(－4)2－4×4(－b)＝0，解得b＝－1.所以当b＝－1时，x1＝x2＝，代入y＝4x2得y＝1.所以所求点的坐标为.4
