第47讲抛物线1.[2018·北京丰台区一模]已知抛物线C的开口向下,其焦点是双曲线y23-x2=1的一个焦点,则C的标准方程为()A.y2=8xB.x2=-8yC.y2=❑√2xD.x2=-❑√2y2.[2018·四川达州四模]过抛物线y2=mx(m>0)的焦点作直线交抛物线于P,Q两点,若线段PQ中点的横坐标为3,|PQ|=54m,则m=()A.6B.4C.10D.83.[2018·吉林市三调]以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x=-2相切,这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是()A.(0,2)B.(2,0)C.(4,0)D.(0,4)4.[2018·四川绵阳三诊]抛物线y=2x2的焦点坐标是.5.[2018·河南六市一模]已知抛物线y2=2ax(a>0)的焦点为F,其准线与双曲线y24-x29=1相交于M,N两点,若∠MFN=120°,则a=.6.[2018·安徽蚌埠质检]已知F是抛物线C:y2=16x的焦点,M是C上一点,O是坐标原点,FM的延长线交y轴于点N.若|FN|=2|OM|,则点M的纵坐标为()A.4❑√2B.-8❑√2C.±4❑√2D.±8❑√27.[2018·山东菏泽模拟]已知等边三角形AOB(O为坐标原点)的三个顶点在抛物线Γ:y2=2px(p>0)上,且△AOB的面积为9❑√3,则p=()A.❑√3B.3C.❑√32D.3❑√328.[2018·辽宁六校期中]已知直线l1的方程为x-y-3=0,l2为抛物线x2=ay(a>0)的准线,抛物线上一动点P到l1,l2的距离之和的最小值为2❑√2,则实数a的值为()A.1B.2C.4D.289.[2018·湖南株洲质检]已知抛物线C1:y2=4x和圆C2:(x-1)2+y2=1,直线y=k(x-1)与C1,C2依次相交于A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)四点(其中x10),△ABC的三个顶点都在抛物线上,O为坐标原点,设△ABC的三条边AB,BC,AC的中点分别为M,N,Q,且M,N,Q的纵坐标分别为y1,y2,y3,若直线AB,BC,AC的斜率之和为-1,则1y1+1y2+1y3的值为()A.-12pB.-1pC.1pD.12p11.[2018·黑龙江大庆二检]已知点A(4,0)及抛物线y2=4x的焦点F,若抛物线上的点P满足|PA|=2|PF|,则|PF|=.12.[2018·四川资阳三诊]抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A,B为抛物线上的两点,以AB为直径的圆过点F,过AB的中点M作抛物线的准线的垂线MN,垂足为N,则|MN||AB|的最大值为.13.[2018·湖南十四校一联]在平面直角坐标系中,动点M(x,y)(x≥0)到点F(1,0)的距离与到y轴的距离之差为1.(1)求点M的轨迹C的方程;(2)若Q(-4,2),过点N(4,0)作任意一条直线交曲线C于A,B两点,试证明kQA+kQB是一个定值.14.[2018·海南阶段性测试]已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B(B位于第一象限)两点.(1)若直线AB的斜率为34,过点A,B分别作直线y=6的垂线,垂足分别为P,Q,求四边形ABQP的面积;(2)若|BF|=4|AF|,求直线l的方程.15.[2018·北京丰台区期末]在平面直角坐标系xOy中,动点P到点F(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,记点P的轨迹为C.(1)求C的方程.(2)设点A在曲线C上,x轴上一点B(在点F右侧)满足|AF|=|FB|,平行于AB的直线与曲线C相切于点D,问直线AD是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.课时作业(四十七)1.B[解析]双曲线y23-x2=1的一个焦点为(0,-2),故抛物线的焦点坐标也是(0,-2),从而得到抛物线方程为x2=-8y.故选B.2.D[解析]设抛物线y2=mx(m>0)的焦点为F,P(x1,y1),Q(x2,y2),由抛物线的定义可知|PQ|=|PF|+|QF|=x1+x2+m2, 线段PQ中点的横坐标为3,且|PQ|=54m,∴6+m2=54m,∴m=8.故选D.3.B[解析]由题意得抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,因为动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆与抛物线的准线相切,所以动圆必过抛物线的焦点,即过点(2,0).4.0,18[解析] x2=12y,∴p=14,∴焦点坐标为0,18.5.3❑√2613[解析]由题意知∠MFO=60°(O为坐标原点),抛物线的准线方程为x=-a2,代入y24-x29=1,得|y|=2❑√1+a236,则tan60°=2❑√1+a236a=❑√3,解得a=3❑√2613.6.C[解析]由题意知焦点F(4,0), |FN|=2|OM|,且∠FON=90°,∴由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知M是斜边FN的中点,∴点M的横坐标为x=0+42=2,当x=2时,点M的纵坐标y满足y2=16x=32,故y=±4❑√2.故选C.7.C[解析]根据拋物线和等边三角形的对称性可知A,B两点关于x轴对称,不妨设直线OB:y=❑√33x,与y2=2px联立,得B(6p,2❑√3p),因为△AOB的面积为9❑√3,所以❑√34×(4❑√3p)2=9❑√3,解得p=❑√32.故选C.8.C[解析]由题意知,抛物线的...
