8.6双曲线[重点保分两级优选练]A级一、选择题1.(2018·唐山统考)“k<9”是“方程+=1表示双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析 方程+=1表示双曲线,∴(25-k)(k-9)<0,∴k<9或k>25,∴“k<9”是“方程+=1表示双曲线”的充分不必要条件,故选A.2.(2017·湖北黄冈二模)已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线的离心率为e,若双曲线上存在一点P使=e,则F2P·F2F1的值为()A.3B.2C.-3D.2答案B解析由题意及正弦定理得==e=2,∴|PF1|=2|PF2|,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=4,|PF2|=2,又|F1F2|=4,由余弦定理可知cos∠PF2F1===, F2P·F2F1=|F2P|·|F2F1|cos∠PF2F1=2×4×=2.故选B.3.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,MN中点的横坐标为-,则此双曲线的方程是()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案D解析设双曲线方程-=1,M(x1,y1),N(x2,y2),∴①-②,得=·.∴1=·,∴5a2=2b2.又a2+b2=7,∴a2=2,b2=5,故选D.4.过双曲线x2-=1的右焦点F作直线l交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线l有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案C解析解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),当直线l的斜率不存在时,其方程为x=,由得y=±2,∴|AB|=|y1-y2|=4满足题意.当直线l的斜率存在时,其方程为y=k(x-),由得(2-k2)x2+2k2x-3k2-2=0.当2-k2≠0时,x1+x2=,x1x2=,|AB|=====4,解得k=±,故这样的直线有3条.故选C.解法二:当直线l无斜率时同解法一,且此时与双曲线一支交于两点的情况只有一种,其他直线得到的|AB|>4.由于双曲线的实轴长为2小于4,因此与双曲线两支分别相交得到的两点都在x轴上方或x轴下方两种情况.综上所述,共有三条直线满足条件,故选C.5.(2016·浙江高考)已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则()1A.m>n且e1e2>1B.m>n且e1e2<1C.m1D.m0,m>1可得m>n,且m2-2>0.从而e·e==,则ee-1=-1=>0,即e1e2>1.故选A.6.(2017·福建龙岩二模)已知离心率为的双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若S△OMF2=16,则双曲线的实轴长是()A.32B.16C.84D.4答案B解析由题意知F2(c,0),不妨令点M在渐近线y=x上,由题意可知|F2M|==b,所以|OM|==a.由S△OMF2=16,可得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,=,所以a=8,b=4,c=4,所以双曲线C的实轴长为16.故选B.7.(2018·湖南十校联考)设双曲线-=1的两条渐近线与直线x=分别交于A,B两点,F为该双曲线的右焦点.若60°<∠AFB<90°,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,)B.(,2)C.(1,2)D.(,+∞)答案B解析双曲线-=1的两条渐近线方程为y=±x,x=时,y=±,不妨设A,B, 60°<∠AFB<90°,∴<kFB<1,∴<<1,∴<<1,∴<<1,∴1<e2-1<3,∴<e<2.故选B.8.(2017·福建漳州八校联考)已知椭圆C1:+=1(a1>b1>0)与双曲线C2:-=1(a2>0,b2>0)有相同的焦点F1,F2,点P是两曲线的一个公共点,e1,e2分别是两曲线的离心率,若PF1⊥PF2,则4e+e的最小值为()A.B.4C.D.9答案C解析由题意设焦距为2c,令P在双曲线的右支上,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a2,①由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a1,②又 PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=4c2,③①2+②2,得|PF1|2+|PF2|2=2a+2a,④将④代入③,得a+a=2c2,∴4e+e=+=+=++≥+2=,当且仅当=,即a=2a时,取等号.故选C.9.(2017·青州市模拟)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为F1,F2,这两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,记椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1·e2的取值范围是()A.B.C.D.(0,+∞)答案A解析...