8.2.2两角和与差的正弦、正切第1课时两角和与差的正弦课后篇巩固提升1.sin10°cos35°-sin260°sin145°的值是()A.❑√22B.-❑√22C.sin25°D.-sin25°答案A2.(多选)已知sinα=-35,α∈(π,3π2),则sinα-π4和sinα+π4的值分别为()A.3❑√210B.7❑√210C.❑√210D.-7❑√210解析 α∈(π,3π2),sinα=-35,∴cosα=-45,sin(α+π4)=sinαcosπ4+cosαsinπ4=-35×❑√22+(-45)×❑√22=-7❑√210.sin(α-π4)=sinαcosπ4-cosαsinπ4=-35×❑√22+45×❑√22=❑√210.答案CD3.在△ABC中,A=15°,则❑√3sinA-cos(B+C)的值为()A.❑√32B.❑√22C.❑√2D.2解析原式=❑√3sinA+cosA=2sin(A+30°)=2sin45°=❑√2.答案C4.在△ABC中,2cosBsinA=sinC,则△ABC的形状一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析 2cosBsinA=sinC,∴2cosBsinA=sin(A+B).∴2cosBsinA=sinAcosB+cosAsinB.∴sinAcosB-cosAsinB=0,∴sin(A-B)=0. A,B是△ABC的内角,∴A=B.∴△ABC是等腰三角形.答案C5.已知α∈(π,3π2),sinα=-14,β∈(3π2,2π),cosβ=45,则α+β为()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案C6.(双空)已知向量a=(cosx,sinx),b=(❑√2,❑√2),a·b=85,则cos(x-π4)=,cos
=.答案45457.已知sinα=12,sinβ=13,则sin(α+β)sin(α-β)=.答案5368.已知cos(π4-α)=35,sin(3π4+β)=513,其中π4<α<3π4,0<β<π4,求sin(α+β)的值.解因为α+β+π2=3π4+β-(π4-α),所以sin(α+β)=-cos[π2+(α+β)]=-cos[(3π4+β)-(π4-α)]=-cos(3π4+β)cos(π4-α)-sin(3π4+β)sin(π4-α).又因为π4<α<3π4,0<β<π4,所以-π2<π4-α<0,3π4<3π4+β<π.所以sin(π4-α)=-45,cos(3π4+β)=-1213.所以sin(α+β)=-(-1213)×35−513×(-45)=5665.9.已知M(1+cos2x,1),N(1,❑√3sin2x+a),若f(x)=⃗OM·⃗ON(O为坐标原点).(1)求f(x)的解析式;(2)当x∈[0,π2]时,f(x)的最大值为4,求a的值.解(1)f(x)=⃗OM·⃗ON=1+cos2x+❑√3sin2x+a,∴f(x)=cos2x+❑√3sin2x+a+1.(2)f(x)=cos2x+❑√3sin2x+a+1=2sin(2x+π6)+a+1, x∈[0,π2],∴2x+π6∈[π6,7π6].∴当2x+π6=π2时,即x=π6时,f(x)取得最大值为3+a,∴3+a=4,∴a=1.能力提升1.已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=13,则log❑√5(tanαtanβ)2等于()A.2B.3C.4D.6答案C2.sin7°+cos15°sin8°cos7°-sin15°sin8°的值等于()A.2+❑√3B.2+❑√32C.2-❑√3D.2-❑√32解析原式=sin(15°-8°)+cos15°sin8°cos(15°-8°)-sin15°sin8°=sin15°cos8°cos15°cos8°=sin15°cos15°=❑√6-❑√24❑√6+❑√24=2-❑√3.答案C3.已知f(x)=sin(3x+θ)-cos(3x+θ)是奇函数,且在[0,π6]上是减函数,则θ的一个值是()A.π4B.πC.43πD.54π解析f(x)=❑√2sin(3x+θ-π4), f(x)是奇函数,∴f(0)=❑√2sin(θ-π4)=0,∴θ=kπ+π4,k∈Z. f(x)在[0,π6]上是减函数,∴k为奇数.当k=1时,θ=54π.答案D4.在△ABC中,已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形解析 sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB=sin(A-B+B)=sinA≥1,且0≤sinA≤1,∴sinA=1,即A=π2,∴△ABC是直角三角形.答案C5.函数y=sinx+cosx+2(x∈[0,π2])的最小值是()A.2-❑√2B.2+❑√2C.3D.1解析y=sinx+cosx+2=❑√2sin(x+π4)+2. x∈[0,π2],∴x+π4∈[π4,34π],∴ymin=❑√2×❑√22+2=3.答案C6.已知A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),若⃗AC·⃗BC=-1,则sin(α+π4)=.解析 ⃗AC=(cosα-3,sinα),⃗BC=(cosα,sinα-3),∴⃗AC·⃗BC=(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=cos2α-3cosα+sin2α-3sinα=1-3❑√2sin(α+π4)=-1.∴sin(α+π4)=❑√23.答案❑√237.已知sinα+cosα=❑√62,α∈(0,π4),则sin(α-5π4)=.解析sin(α-5π4)=sinαcos5π4-cosαsin5π4=❑√22cosα-❑√22sinα=❑√22(cosα-sinα). α∈(0,π4),∴cosα>sinα,∴(sinα+cosα)2=32,(sinα-cosα)2=12,∴cosα-sinα=❑√22.∴sin(α-5π4)=❑√22×❑√22=12.答案128.已知f(x)=sin2x+❑√3cos2x-1,x∈[0,π2].(1)求f(x)的最大值;(2)求f(x)在定义域上的单...
