抛物线的简单几何性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·长春高二检测)过抛物线y2=4x的顶点O作互相垂直的两弦OM，ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为()A.64B.32C.16D.4【解析】选C.由已知设OM的斜率为k，则ON的斜率为.从而OM的方程为y=kx，联立方程解得M的横坐标x1=.同理可得N的横坐标x2=4k2，可得x1x2=16.2.设M(x0，y0)为抛物线C：x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A.(0，2)B.[0，2]C.(2，+∞)D.[2，+∞)【解析】选C.因为x2=8y，所以焦点F的坐标为(0，2)，准线方程为y=-2.由抛物线的定义知|FM|=y0+2.以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2+(y-2)2=(y0+2)2.由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故42.3.设点A是抛物线y2=4x上一点,点B(1,0),点M是线段AB的中点.若|AB|=3,则点M到直线x=-1的距离为()A.5B.C.2D.【解析】选D.如图,过A,M,B分别作l:x=-1的垂线,垂足分别为P,N,Q,则MN=(AP+BQ)=×(3+2)=.14.(2015·荆州高二检测)抛物线y2=2x的焦点为F，其准线经过双曲线-=1(a>0，b>0)的左顶点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=2，则双曲线的离心率为()A.B.2C.D.【解析】选A.F(，0)，l：x=-，由题意知a=.由抛物线的定义知，xM-(-)=2，所以xM=，所以=3，因为点(xM，yM)在双曲线上，所以-=1，所以b2=，所以c2=a2+b2=，所以e2==×4=，所以e=.5.过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则·的值是()A.12B.-12C.3D.-3【解析】选D.设A(，y1)，B(，y2)，则=(，y1)，=(，y2)，则·=(，y1)·(，y2)=+y1y2，又因为AB过焦点，则有y1y2=-p2=-4，所以·=+y1y2=-4=-3，故选D.2【拓展延伸】抛物线上点的坐标的设法设抛物线上的任意一点的坐标时，一般只设一个参数，设的原则是“谁有平方就设谁”，如设抛物线y2=x上的任意一点的坐标，因为y有平方，故可设点的纵坐标为m则其横坐标为m2，即点的坐标可设为(m2，m)，这样设减少了参数的个数，减少了运算量.同时注意几何性质的应用也可减化运算.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2015·宁波高二检测)设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F，且与y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为____________.【解析】抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F的坐标为，则直线l的方程为y=2，它与y轴的交点为A，所以△OAF的面积为·=4，解得a=±8.所以抛物线方程为y2=±8x.答案：y2=±8x7.(2015·陕西高考)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点，则p=___________.【解析】双曲线x2-y2=1的左焦点为(-，0)，故抛物线y2=2px的准线为x=-，所以=，所以p=2.答案：28.(2015·漳州高二检测)抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是________.【解析】设抛物线y=-x2上一点为(m，-m2)，该点到直线4x+3y-8=0的距离为，当m=时，取得最小值.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上，求这个正三角形的边长.【解析】如图，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且它们的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)则：=2px1，3=2px2.又|OA|=|OB|，所以+=+，即-+2px1-2px2=0，所以(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.因为x1>0，x2>0，2p>0，所以x1=x2，由此可得|y1|=|y2|，即线段AB关于x轴对称.由于AB垂直于x轴，且∠AOx=30°.所以=tan30°=，而=2px1，所以y1=2p.于是|AB|=2y1=4p.【拓展延伸】抛物线对称性的应用抛物线是轴对称图形，对称轴是坐标轴，利用对称性，可以方便地表示出抛物线上点的坐标，任何与轴垂直的弦都被轴平分.10.设F(1，0)，M点在x轴的负半轴上，点P在y轴上，且=，⊥.(1)当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程.(2)试求轨迹C对应方程的变量x，y的范围.【解析】(1)因为=，故P为MN的中点.设N(x，y)，由M点在x轴的负半轴上，则M(-x，0)，P(x>0)，4又F(1，0)，所以=，=.又因为⊥，所以·=-x+=0，所以点N的轨迹C的方程为y2=4x(x>0).(2)由方程y2=4x及实际意义M点在x轴的负半轴上得x>0，y≠0.【一题多解】(1)因为=，故P为MN的中点....
