高考数学 热点题型和提分秘籍 专题28 基本不等式及其应用 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

2016年高考数学热点题型和提分秘籍专题28基本不等式及其应用理（含解析）新人教A版【高频考点解读】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．【热点题型】题型一利用基本不等式证明简单不等式【例1】已知x＞0，y＞0，z＞0.求证：≥8.证明 x＞0，y＞0，z＞0，∴＋≥＞0，＋≥＞0，＋≥＞0，∴≥＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．【提分秘籍】利用基本不等式证明新的不等式的基本思路是：利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性．【举一反三】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9.题型二利用基本不等式求最值【例2】解答下列问题：(1)已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值；(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值；(3)已知x＜，求f(x)＝4x－2＋的最大值；(4)已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，求a的值．(3)因为x＜，所以5－4x＞0，则f(x)＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.(4) f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即4x2＝a时f(x)取得最小值．又 x＝3，∴a＝4×32＝36.【提分秘籍】(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等．【举一反三】(1)设a＞0，若关于x的不等式x＋≥4在x∈(0，＋∞)上恒成立，则a的最小值为()A．4B．2C．16D．1(2)设0＜x＜，则函数y＝4x(5－2x)的最大值为______．(3)设x＞－1，则函数y＝的最小值为________．【答案】(1)A(2)(3)9【解析】题型三基本不等式的实际应用【例3】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．【提分秘籍】有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．【举一反三】首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【解析】(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2－200＝200，当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－＝－x2＋300x－80000＝－(x－300)2－35000，因为x∈[400，600]，所以S∈[－80000，－40000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损.【高考风向标】1.【2015高考四川，理9】如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（）（A）16（B）18（C）25（D）【答案】B【解析】2.【2015高考陕西，理9】设，若，，，则下列关系式中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，函数在上单调递增，因为，所以，所...