专题17正弦定理和余弦定理及解三角形1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2．本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积等3．命题形式多种多样，解答题以综合题为主，常与三角恒等变换、平面向量相结合热点题型一应用正弦、余弦定理解三角形例1、【2017山东，理9】在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】所以，选A.【变式探究】(1)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b。若2asinB＝b，则角A等于()A.B.C.(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c。若a＝1，c＝4，B＝45°，则sinC＝________。答案：（1）A（2）【提分秘籍】解三角形的方法技巧已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。【举一反三】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°热点题型二判断三角形的形状例2、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC。(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝，试判断△ABC的形状。解析：(1)由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝＝，∴A＝60°。(2) A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°。由sinB＋sinC＝，得sinB＋sin(120°－B)＝，∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝。∴sinB＋cosB＝，即sin(B＋30°)＝1。 0°＜B＜120°，∴30°＜B＋30°＜150°。∴B＋30°＝90°，B＝60°。∴A＝B＝C＝60°，△ABC为等边三角形。【提分秘籍】判断三角形形状的方法技巧解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系。另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响。【举一反三】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形热点题型三与三角形面积有关的问题例3．【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．【答案】【解析】取BC中点E，DC中点F，由题意：，△ABE中，，，．又，，综上可得，△BCD面积为，．【变式探究】在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝b。(1)求角A的大小；(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积。解析：(1)由2asinB＝b，得2a＝，又由正弦定理＝，得＝，所以sinA＝，因为A为锐角，所以A＝。(2)由(1)及a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝36，又b＋c＝8，所以bc＝，由S＝bcsinA，得△ABC的面积为。【提分秘籍】三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式。(2)已知三角形的面积解三角形。与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化。【举一反三】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是()A．3B.C.D．3解析：由c2＝(a－b)2＋6可得a2＋b2－c2＝2ab－6①。由余弦定理及C＝可得a2＋b2－c2＝ab②。所以由①②得2ab－6＝ab，即ab＝6。所以S△ABC＝absin＝×6×＝。答案：C1.【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．【答案】【解析】取BC中点E，DC中点F，由题意：，△ABE中，，，．又，，综上可得，△BCD面积为，．2.【2017课标1，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为（1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.【答案】（1）.（2）.【解析】（1）由题设得，即.由正弦定理得.故.（...
