专题19椭圆一、基础过关题1．(2016·湖南六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋y2＝1D.＋y2＝1【答案】A【解析】依题意，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c＝1，又离心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.2．已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为()A．－21B．21C．－或21D.或－21【答案】D3．(2017·青岛月考)已知A1，A2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线PA1，PA2的斜率的乘积为－，则椭圆C的离心率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】设P(x0，y0)，则×＝－，化简得＋＝1，则＝，e＝＝＝，故选D.4.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③<；④c1a2>a1c2.其中正确式子的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】D5．(2016·贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A．1B.C．2D．2【答案】D【解析】设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以×2cb＝1，bc＝1，而2a＝2≥2＝2(当且仅当b＝c＝1时取等号)，故选D.6．若椭圆＋＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________．【答案】＋＝17．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．【答案】7【解析】由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.8．(2017·石家庄质检)椭圆＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________________．【答案】(－，)【解析】设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，则F1P＝(x＋，y)，F2P＝(x－，y)． ∠F1PF2为钝角，∴F1P·F2P<0，即x2－3＋y2<0，① y2＝1－，代入①得x2－3＋1－<0，x2<2，∴x2<.解得－b>0)的左顶点A(－a，0)作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且PQ＝2QA，则椭圆的离心率为________．【答案】10．如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点，上顶点分别为A，B，且|AB|＝|BF|.(1)求椭圆C的离心率；(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆C于P，Q两点，OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程．【答案】:(1)求椭圆C的离心率；(2)直线l的方程为2x－y＋2＝0.椭圆C的方程为＋y2＝1.【解析】(1)由已知|AB|＝|BF|，即＝a，4a2＋4b2＝5a2,4a2＋4(a2－c2)＝5a2，∴e＝＝.(2)由(1)知a2＝4b2，∴椭圆C：＋＝1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.由消去y，得x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，即17x2＋32x＋16－4b2＝0.Δ＝322＋16×17(b2－4)>0，解得b>.x1＋x2＝－，x1x2＝. OP⊥OQ，∴OP·OQ＝0，即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0.从而－＋4＝0，解得b＝1，满足b>.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.二、能力提高题1.(2016·济南质检)设A1，A2为椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右顶点，若在椭圆上存在异于A1，A2的点P，使得PO·PA2＝0，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是()A．(0，)B．(0，)C．(，1)D．(，1)【答案】D f(0)＝－a2b2<0，f(a)＝0，如图，Δ＝(a3)2－4(b2－a2)·(－a2b2)＝a2(a4－4a2b2＋4b4)＝a2(a2－2b2)...
