【高考领航】2017届高考数学大一轮复习第八章平面解析几何8.3圆的方程课时规范训练理北师大版[A级基础演练]1．若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a的值是()A．－1B．2C．－1或2D．1解析：当方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆时，a≠0.∴方程可转化为x2＋y2＋x＋＝0.∴若方程表示圆，则有得即a＝－1时表示圆．答案：A2．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0D．x－y＋3＝0解析：圆的圆心为(1,2)．直线x－y＋1＝0过圆心．故选C.答案：C3．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．10B．20C．30D．40解析：圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝52，由题意得|AC|＝2×5＝10，|BD|＝2＝4，且AC⊥BD，四边形ABCD的面积S＝|AC|·|BD|＝×10×4＝20.故选B.答案：B4．若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．解析：因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m)．又因为圆与直线y＝1相切，所以＝|1－m|，所以m2＋4＝m2－2m＋1，解得m＝－，所以圆C的方程为(x－2)2＋2＝.答案：(x－2)2＋2＝5．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a＝________.解析：由于弦AB的长为2，则圆心(1,2)到直线ax－y＋3＝0的距离等于1，即＝1，解得a＝0.答案：06．(2015·高考课标卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0＜m＜4，r＞0)，则解得所以圆的标准方程为2＋y2＝.答案：2＋y2＝7．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．解：(1)原方程化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2,0)为圆心，半径为的圆．设＝k，即y＝kx，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时有＝，解得k＝±.故的最大值为，最小值为－.(2)设y－x＝b，即y＝x＋b，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，即b＝－2±.故(y－x)max＝－2＋，(y－x)min＝－2－.(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知在原点和圆心连线与圆的两个交点处x2＋y2取得最大值或最小值．又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.8．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)，∴直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0.①又直径|CD|＝4，∴|PA|＝2，∴(a＋1)2＋b2＝40②由①②解得或∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)，∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.[B级能力突破]1．(2016·内蒙古呼伦贝尔一模)已知⊙M的圆心在抛物线x2＝4y上，且⊙M与y轴及抛物线的准线都相切，则⊙M的方程是()A．x2＋y2±4x－2y＋1＝0B．x2＋y2±4x－2y－1＝0C．x2＋y2±4x－2y＋4＝0D．x2＋y2±4x－2y－4＝0解析：抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，设圆心M的坐标为(x0，y0)(y0>0)，则|x0|＝y0＋1，又x＝4y0，所以联立解得因此圆M的方程为(x±2)2＋(y－1)2＝22，展开整理得x2＋y2±4x－2y＋1＝0，故选A.答案：A2．已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是()A．(x－)2＋y2＝5B．(x＋)2＋y2＝5C．(x＋)2＋y2＝5D．x2＋(y＋)2＝5解析：设圆心为(a,0)(a＜0)，则＝，∴a＝－，∴圆O的方程为(x＋)2＋y2＝5，故选C.答案：C3．(2016·天津模拟)圆心为C的圆与直线l：x＋2y－3＝0交于P、Q两点，O为坐标原点，且满足OP·OQ＝0，则圆C的方程为()A.2＋(y－3)2＝B.2＋(y＋3)2＝C.2＋(y－3)2＝D.2＋(y＋3)2＝解析： 圆心为C，∴设圆的...
