第1课时最值、范围、证明问题[A级基础巩固]1．(2020·湛江一中周考)已知M，N分别是椭圆＋y2＝1和圆C：x2＋(y－4)2＝1上的动点，则|MN|的最大值为()A．5B．6C．2＋1D．3＋1解析：圆心为(0，4)，设M(x，y)，则|MC|＝＝，又因为－1≤y≤1，所以当y＝－时，|MC|max＝3，则|MN|max＝3＋1.答案：D2．已知P为双曲线C：－＝1上的点，点M满足|QM|＝1，且OM·PM＝0，则当|PM|取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为()A.B.C．4D．5解析：由OM·PM＝0，得OM⊥PM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x±3y＝0，所以所求的距离d＝.答案：B3．(2020·洛阳市期末)设P是椭圆＋＝1上的一点，M，N分别是圆(x＋3)2＋y2＝4和圆(x－3)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的取值范围是()A．[7，13]B．[8，12]C．[7，12]D．[8，13]解析：因为椭圆＋＝1，所以焦点坐标为F1(－3，0)，F2(3，0)，因为两圆(x＋3)2＋y2＝4和(x－3)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(－3，0)和(3，0)，两圆的半径分别为R1＝2，R2＝1，因为两圆的圆心位于椭圆的焦点上，所以PF1－R1≤PM≤PF1＋R1，PF2－R2≤PN≤PF2＋R2，所以PF1＋PF2－R1－R2≤PM＋PN≤PF1＋PF2＋R1＋R2，所以7≤PM＋PN≤13，所以|PM|＋|PN|的取值范围是[7，13]．答案：A4．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是()A．[3，＋∞)B．(3，＋∞)C．(1，3]D．(1，3)解析：依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立消去y得x2±x＋2＝0.因为渐近线与抛物线有交点，所以Δ＝－8≥0，求得b2≥8a2，所以c＝≥3a，所以e＝≥3.1答案：A5．(2020·黄石三中月考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2＋(y＋)2＝1上一点，则|MN|＋|MF2|的最小值为()A．8B．9C．10D．11解析：由题意可得2a＝6，即a＝3，渐近线方程为y＝±x，即有＝，即b＝1，可得双曲线方程为－y2＝1，焦点为F1(－，0)，F2(，0)，由双曲线的定义可得|MF2|＝2a＋|MF1|＝6＋|MF1|，由圆E：x2＋(y＋)2＝1可得E(0，－)，半径r＝1，|MN|＋|MF2|＝6＋|MN|＋|MF1|，连接EF1，交双曲线于M，交圆于N，可得|MN|＋|MF1|取得最小值，且为|EF1|＝＝4，则|MN|＋|MF2|的最小值为6＋4－1＝9.答案：B6．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3，0)，|AM|＝1，且PM·AM＝0，则|PM|的最小值是________．解析：因为PM·AM＝0，所以AM⊥PM.所以|PM|2＝|AP|2－|AM|2＝|AP|2－1，因为椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故|AP|min＝2，所以|PM|min＝.答案：7．(2020·徐州一中月考)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F且斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M是抛物线C上一点，且M在直线l下方，则△MAB面积的最大值为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为直线l过点F，且斜率为2，所以直线l的方程为y＝2x＋1，联立整理得＝4y，即y2－18y＋1＝0，则y1＋y2＝18，故|AB|＝y1＋y2＋k＝18＋2＝20.设直线l′：y＝2x＋a，联立整理得x2－8x－4a＝0，当直线l′与抛物线C相切时，Δ＝64＋16a＝0，解得a＝－4，则直线l与l′之间的距离d＝＝.2因为点M是抛物线C上在直线l下方的一点，所以点M到直线l的距离dM≤d＝，则△MAB的面积为|AB|·dM≤×20×＝10.答案：108．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上(P不与A1，A2重合)且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是________．解析：由椭圆C：＋＝1可知左顶点A1(－2，0)，右顶点A2(2，0)，设P(x0，y0)(x0≠±2)，则＋＝1，得＝－，因为kPA1＝，kPA2＝，所以kPA1·kPA2＝＝－，又因为－2≤kPA2≤－1，所以－2≤－≤－1，解得≤kPA1≤，即直线PA1斜率的取值范围为.答案：9．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左、右两焦点F1，F2构成的三角形中面积的最大值为.(1)求椭圆M的标准方程；(2)若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF2并延长，与椭圆的另一交点为B...
