4.4三角函数的图象与性质考点一三角函数的定义域、值域(最值)1.函数y=的定义域为________.2.(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)=sin-3cosx的最小值为________.3.函数f(x)=1-3sin的值域为________.【解析】1.要使函数有意义,必须使sinx-cosx≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上y=sinx和y=cosx的图象.在[0,2π]内,满足sinx=cosx的x为,,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以原函数的定义域为.答案:2.f(x)=sin-3cosx=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+1=-2+,因为-1≤cosx≤1,所以当cosx=1时,f(x)min=-4,故函数f(x)的最小值为-4.答案:-43.因为-1≤sin≤1,所以-3≤-3sin≤3,所以-2≤1-3sin≤4,所以函数f(x)=1-3sin的值域为[-2,4].答案:[-2,4]1.求三角函数的定义域的实质解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数的图象求解.2.求解三角函数的值域(最值)常见三种类型(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值).(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数,可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域(最值).(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数,可先设t=sinx±cosx,化为关于t的二次函数求值域(最值).【秒杀绝招】图象性质解T1,sinx-cosx=sin≥0,将x-视为一个整体,由正弦函数y=sinx的图象与性质知2kπ≤x-≤π+2kπ(k∈Z),解得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z).所以定义域为.特殊值法解T2,易知f(x)≥-4,又x=0时,f(x)=-4,所以f(x)的最小值为-4.考点二三角函数的单调性【典例】1.(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)=cosx-sinx在[0,a]上是减函数,则a的最大值是()A.B.C.D.π2.函数f(x)=sin的单调递减区间为________.【解题导思】序号联想解题1看到“f(x)=cosx-sinx在[0,a]上是减函数”想到化简f(x)解析式,[0,a]是某个减区间的子集2看到“f(x)=sin”想到运用诱导公式转化为f(x)=-sin【解析】1.选C.f(x)=cosx-sinx=cos在上单调递减,所以[0,a]⊆,故0
0)的形式,再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间,只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可.2.已知单调区间求参数的三种方法子集法求出原函数的相应单调区间,由已知区间是该区间的子集,列不等式(组)求解求补集法由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解周期性法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解1.设函数f(x)=sin,x∈,则以下结论正确的是()A.函数f(x)在上单调递减B.函数f(x)在上单调递增C.函数f(x)在上单调递减D.函数f(x)在上单调递增【解析】选C.由x∈得2x-∈,所以f(x)先减后增;由x∈得2x-∈,所以f(x)先增后减;由x∈得2x-∈,所以f(x)单调递减;由x∈得2x-∈,所以f(x)先减后增.2.若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω=________.【解析】因为f(x)=sinωx(ω>0)过原点,所以当0≤ωx≤,即0≤x≤时,y=sinωx是增函数;当≤ωx≤,即≤x≤时,y=sinωx是减函数.由已知=,所以ω=.答案:考点三三角函数的周期性、奇偶性、对称性命题考什么:(1)周期性,奇偶性、对称性等.(2)考查逻辑推理,数学运算等核心素养,以及转化与化归的思想.精解读怎么考:与诱导公式、三角恒等变换结合考查求周期,参数等等.新趋势:以考查与诱导公式、三角恒等变换结合为主.学霸好方法求周期的三种方法(1)利用周期函数的定义:f(x+T)=f(x).(2)利用公式:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为.(3)利用图象:图象重复的x轴上一段的长度.①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.周期性【典例】1.(2019·全国卷Ⅱ)若x1=...
