2018年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第13讲变化率与导数、导数的计算实战演练理1．(2016·山东卷)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称x＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(A)A．y＝sinxB．y＝lnxC．y＝exD．y＝x3解析：设函数y＝f(x)图象上两点的横坐标为x1，x2，由题意知只需函数y＝f(x)满足f′(x1)·f′(x2)＝－1(x1≠x2)即可．y＝f(x)＝sinx的导函数为f′(x)＝cosx，f′(0)·f′(π)＝－1，故A满足；y＝f(x)＝lnx的导函数为f′(x)＝，f′(x1)·f′(x2)＝>0，故B不满足；y＝f(x)＝ex的导函数为f′(x)＝ex，f′(x1)·f′(x2)＝ex1＋x2>0，故C不满足；y＝f(x)＝x3的导函数f′(x)＝3x2，f′(x1)·f′(x2)＝9xx≥0，故D不满足，故选A．2．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝1－ln_2.解析：直线y＝kx＋b与曲线y＝lnx＋2，y＝ln(x＋1)均相切，设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝lnx＋2得y′＝，由y＝ln(x＋1)得y′＝，∴k＝＝，∴x1＝，x2＝－1，∴y1＝－lnk＋2，y2＝－lnk，即A，B，∵A，B在直线y＝kx＋b上，∴⇒3．(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是y＝－2x－1.解析：令x>0，则－x<0，f(－x)＝lnx－3x，又f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝lnx－3x(x>0)，则f′(x)＝－3(x>0)，∴f′(1)＝－2，∴在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.4．(2015·陕西卷)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P点的坐标为(1,1)．解析：∵函数y＝ex的导函数为y′＝ex，∴曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.设P(x0，y0)(x0>0)，∵函数y＝的导函数为y′＝－.∴曲线y＝(x>0)在点P处的切线的斜率k2＝－，由题意知k1k2＝－1，即1·＝－1，解得x＝1，又x0>0，∴x0＝1.又∵点P在曲线y＝(x>0)上，∴y0＝1，故点P的坐标为(1,1)．1
