第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1向量的数量积8.1.1向量数量积的概念课后篇巩固提升基础巩固1.已知|b|=3,a在b方向上的投影的数量是32,则a·b为()A.3B.92C.2D.12答案B2.(多选)下列命题中是真命题的是()A.|a·b|=|a|·|b|B.a·b=0⇔a=0或b=0C.|λa|=|λ|·|a|D.λa=0⇔λ=0或a=0答案CD3.设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则
等于()A.150°B.120°C.60°D.30°解析如图所示.因为|a|=|b|=|c|,所以△OAB是等边三角形.所以=120°.答案B4.如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中,最大的是()A.⃗P1P2·⃗P1P3B.⃗P1P2·⃗P1P4C.⃗P1P2·⃗P1P5D.⃗P1P2·⃗P1P6解析设正六边形的边长为a,则⃗P1P2·⃗P1P3=32a2,⃗P1P2·⃗P1P4=a2,⃗P1P2·⃗P1P5=0,⃗P1P2·⃗P1P6=-12a2.答案A5.在△ABC中,已知|⃗AB|=|⃗AC|=4,且⃗AB·⃗AC=8,则△ABC的形状为.答案等边三角形6.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为π3,以a,b为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条对角线的长度为.答案❑√37.若四边形ABCD满足⃗AB+⃗CD=0,且⃗AB·⃗BC=0,试判断四边形ABCD的形状.解因为⃗AB+⃗CD=0,所以⃗AB=⃗DC,即AB∥DC,且AB=DC,所以四边形ABCD为平行四边形.又因为⃗AB·⃗BC=0,所以⃗AB⊥⃗BC,即AB⊥BC.所以四边形ABCD为矩形.8.已知在△ABC中,⃗AB=c,⃗BC=a,⃗AC=b,若|c|=m,|b|=n,=θ.(1)试用m,n,θ表示S△ABC;(2)若c·b<0,且S△ABC=154,|c|=3,|b|=5,则为多少?解(1)S△ABC=12AB·AC·sin∠CAB=12mnsinθ.(2)因为S△ABC=154=12|b||c|sinθ,所以154=12×3×5sinθ.所以sinθ=12.因为c·b<0,所以θ为钝角.所以θ=150°,即=150°.能力提升1.下列命题中,正确命题的个数是()①⃗AB+⃗BA=0②0·⃗AB=0③⃗AB−⃗AC=⃗BC④0·⃗AB=0A.1B.2C.3D.4解析由两相反向量的和为零向量知命题①正确;由于两向量的数量积结果为一实数知命题②错误,正确结果应为0;由向量的减法运算法则知⃗AB−⃗AC=⃗CB,命题③错误;由向量数乘的意义知0·⃗AB=0,命题④错误,即正确命题的个数是1,故选A.答案A2.有4个式子:①0·a=0;②0·a=0;③0-⃗AB=⃗BA;④|a·b|=|a||b|.其中正确式子的个数为()A.4B.3C.2D.1解析因为向量乘以实数仍然为向量,所以0·a=0,式子①正确,②错误;由⃗AB+⃗BA=⃗AA=0,所以0-⃗AB=⃗BA,式子③正确;由|a·b|=|a||b||cosθ|,得|a·b|=|a||b|不一定成立,式子④错误.故选C.答案C3.(多选)对于非零向量a,b,c,下列命题正确的是()A.若a·b=b·c,则a=bB.若a⊥b,则a·b=(a·b)2C.若a∥b,则a在b上的投影的数量为|a|D.若λ1a+λ2b=0(λ1,λ2∈R,且λ1·λ2≠0),则a∥b解析对于选项A,若a·b=b·c,则(a-c)·b=0,故A错误;对于选项B,若a⊥b,所以a·b=0,则a·b=(a·b)2,故B正确;对于选项C,若a∥b,则a在b上的投影的数量为±|a|,故C错误;对于选项D,若λ1a+λ2b=0(λ1,λ2∈R,且λ1·λ2≠0),推出a=-λ2λ1b,由平行向量基本定理可知a∥b,故D正确.综上可知:选项BD正确,故选BD.答案BD4.以下四个命题中,正确的是()A.若⃗OP=12⃗OA+13⃗OB,则P,A,B三点共线B.若{a,b,c}为空间的一个基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底C.|(a·b)c|=|a|·|b|·|c|D.△ABC为直角三角形的充要条件是⃗AB·⃗AC=0解析因为⃗OP=12⃗OA+13⃗OB中12+13≠1,所以P,A,B三点不一定共线,因为{a,b,c}为空间的一个基底,所以a,b,c不在同一个平面,因此a+b,b+c,c+a也不在同一个平面,从而{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底,因为|(a·b)c|=|a·b||c|=|a|·|b|·|c|·|cos|,所以|(a·b)c|=|a|·|b|·|c|不恒成立,因为△ABC为直角三角形时角A不一定为直角,即⃗AB·⃗AC=0不一定成立,所以D错误,综上可知选B.答案B5.已知|a|=5,|b|=3,且a·b=-12,则向量a在向量b上的投影的数量等于()A.-4B.4C.-125D.125解析向量a在向量b上的投影的数量等于a·b|b|=-123=-4.故选A.答案A6.在边长为4的菱形ABCD中∠BAD=120°,则⃗AD在⃗AB方向上的投影的数量为()A.2❑√3B.-2❑√3C.-2D.2解析由题意知向量⃗AD和⃗AB的夹角为120°,所以⃗AD在⃗AB方向上的投影的数量为|⃗AD|cos120°=4×-12=-2.故选C.答案C7.已知△ABC的外接圆半径...
