第四节导数的综合应用限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级基础夯实练1．(2018·安徽合肥一中等六校联考)已知函数f(x)＝(x＋a－1)ex，g(x)＝x2＋ax，其中a为常数．(1)当a＝2时，求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)因为a＝2，所以f(x)＝(x＋1)ex，所以f(0)＝1，f′(x)＝(x＋2)ex，所以f′(0)＝2，所以切点的坐标为(0，1)，所以切线方程为2x－y＋1＝0.(2)令h(x)＝f(x)－g(x)，由题意得h(x)min≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立，h(x)＝(x＋a－1)ex－x2－ax，所以h′(x)＝(x＋a)(ex－1)，①若a≥0，则当x∈[0，＋∞)时，h′(x)≥0，所以函数h(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h(0)＝a－1，则a－1≥0，得a≥1.②若a＜0，则当x∈[0，－a)时，h′(x)≤0，当x∈(－a，＋∞)时，h′(x)≥0，所以函数h(x)在[0，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h(－a)，又h(－a)＜h(0)＝a－1＜0，所以不合题意．综上，实数a的取值范围为[1，＋∞)．2．(2018·青岛调研)设函数f(x)＝－klnx，k＞0.(1)求f(x)的单调区间和极值．(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．解：(1)由f(x)＝－klnx(k＞0)得f′(x)＝x－＝.由f′(x)＝0解得x＝.f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的情况如下：x(0，)(，＋∞)f′(x)－0＋f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)；f(x)在x＝处取得极小值f()＝.(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝.因为f(x)存在零点，所以≤0，从而k≥e.当k＝e时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()＝0，所以x＝是f(x)在区间(1，]上的唯一零点．当k＞e时，f(x)在区间(0，)上单调递减，且f(1)＝＞0，f()＝＜0，所以f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．3．(2018·安徽十大名校联考)设函数f(x)＝ex－x2－ax－1(e为自然对数的底数)，a∈R.(1)证明：当a＜2－2ln2时，f′(x)没有零点；(2)当x＞0时，f(x)＋x≥0恒成立，求a的取值范围．解：(1)证明： f′(x)＝ex－2x－a，令g(x)＝f′(x)，∴g′(x)＝ex－2.令g′(x)＜0，解得x＜ln2；令g′(x)＞0，解得x＞ln2，∴f′(x)在(－∞，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增，∴f′(x)min＝f′(ln2)＝2－2ln2－a.当a＜2－2ln2时，f′(x)min＞0，∴f′(x)的图象恒在x轴上方，∴f′(x)没有零点．(2)当x＞0时，f(x)＋x≥0恒成立，即ex－x2－ax＋x－1≥0恒成立，∴ax≤ex－x2＋x－1，即a≤－x－＋1恒成立．令h(x)＝－x－＋1(x＞0)，则h′(x)＝.当x＞0时，ex－x－1＞0恒成立，令h′(x)＜0，解得0＜x＜1，令h′(x)＞0，解得x＞1，∴h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴h(x)min＝h(1)＝e－1.∴a的取值范围是(－∞，e－1]．B级能力提升练4．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－lnx－1.(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a≥时，f(x)≥0.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－.由题设知，f′(2)＝0，所以a＝.从而f(x)＝ex－lnx－1，f′(x)＝ex－.当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.所以f(x)在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．(2)证明：当a≥时，f(x)≥－lnx－1.设g(x)＝－lnx－1，则g′(x)＝－.当0＜x＜1时，g′(x)＜0；当x＞1时，g′(x)＞0.所以x＝1是g(x)的最小值点．故当x＞0时，g(x)≥g(1)＝0.因此，当a≥时，f(x)≥0.5．(2018·太原调研)设函数f(x)＝e2x－alnx.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a＋aln.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－(x＞0)．当a≤0时，f′(x)＞0，f′(x)没有零点；当a＞0时，设u(x)＝e2x，v(x)＝－，因为u(x)＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(a)＞0，当b满足0＜b＜且b＜时，f′(b)＜0，故当a＞0时，f′(x)存在唯一零点．(2)证明：由(1)可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0...
