解答题规范专练(五)平面解析几何1．已知椭圆C：＋y2＝1的上、下顶点分别为A，B，点P在椭圆上，且异于点A，B，直线AP，BP与直线l：y＝－2分别交于点M，N.(1)设直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；(2)求线段MN长的最小值．2．(2015·北京西城模拟)已知A，B是抛物线W：y＝x2上的两个点，点A的坐标为(1,1)，直线AB的斜率为k(k>0)．设抛物线W的焦点在直线AB的下方．(1)求k的取值范围；(2)设C为W上一点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D，判断四边形ABDC是否为梯形，并说明理由．3．(2014·辽宁高考)圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)，双曲线C1：－＝1过点P且离心率为.(1)求C1的方程；(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点．若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．答案1．解：(1)由题意，A(0,1)，B(0，－1)，令P(x0，y0)，则x0≠0，∴直线AP的斜率k1＝，BP的斜率k2＝.又点P在椭圆上，∴＋y＝1(x0≠0)，从而有k1k2＝＝＝－.即k1k2为定值．(2)由题设可以得到直线AP的方程为y－1＝k1(x－0)，直线BP的方程为y－(－1)＝k2(x－0)，由得由得∴直线AP与直线l的交点M，直线BP与直线l的交点N.又k1k2＝－，∴|MN|＝＝＝＋|4k1|≥2＝4，当且仅当＝|4k1|，即k1＝±时等号成立，故线段MN长的最小值是4.2．解：(1)抛物线y＝x2的焦点为.由题意，得直线AB的方程为y－1＝k(x－1)，令x＝0，得y＝1－k，即直线AB与y轴相交于点(0,1－k)．因为抛物线W的焦点在直线AB的下方，所以1－k>，解得k<.因为k>0，所以00，y0>0)，则切线斜率为－，切线方程为y－y0＝－(x－x0)，即x0x＋y0y＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S＝··＝.由x＋y＝4≥2x0y0知当且仅当x0＝y0＝时x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为(，)．由题意知解得a2＝1，b2＝2，故C1的方程为x2－＝1.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(－，0)，(，0)，由此设C2的方程为＋＝1，其中b1>0.由P(，)在C2上，得＋＝1，解得b＝3，因此C2的方程为＋＝1.显然，l不是直线y＝0.设l的方程为x＝my＋，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(m2＋2)y2＋2my－3＝0.又y1，y2是方程的根，因此由x1＝my1＋，x2＝my2＋，得因为＝(－x1，－y1)，＝(－x2，－y2)，由题意知·＝0，所以x1x2－(x1＋x2)＋y1y2－(y1＋y2)＋4＝0，⑤将①②③④代入⑤式整理得2m2－2m＋4－11＝0，解得m＝－1或m＝－＋1.因此直线l的方程为x－y－＝0或x＋y－＝0.
