第五讲三角函数的性质一．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图像定义域RR{x|x≠+kπ,k∈Z}值域[-1,1][-1,1]R单调性在[2kπ-,2kπ+](k∈Z)上单调递增;在[2kπ+,2kπ+](k∈Z)上单调递减在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上单调递增;在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减在(kπ-,kπ+)(k∈Z)上单调递增最值x=2kπ+(k∈Z)时,ymax=1;x=2kπ-(k∈Z)时,ymin=-1x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;x=2kπ+π(k∈Z)时,ymin=-1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(kπ,0)(k∈Z)对称中心(kπ+,0)(k∈Z)对称中心(,0)(k∈Z)【套路秘籍】---千里之行始于足下对称轴l:x=kπ+(k∈Z)对称轴l:x=kπ(k∈Z)最小正周期2π2ππ二．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．（2）在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一“五点法”作正、余弦函数的图象【例1】用“五点法”作出下列函数的简图．(1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]；(2)y＝2＋cosx，x∈[0,2π]．【答案】见解析【解析】(1)列表：x0ππ2πsinx010－10sinx－1－10－1－2－1描点连线，如图(2)列表：X0ππ2πcosx10－1012＋cosx32123描点连线，如图【套路总结】用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤第一步：列表.ωx＋φ0π2πx－－－－－y0A0－A0第二步：在同一坐标系中描出各点．【举一反三】1．用“五点法”作出函数y＝2－sinx，x∈[0，2π]的图象．【答案】见解析【解析】列表如下：x0π2πsinx010－102－sinx21232描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．2.y＝|sinx|，x∈[0,4π]．【答案】见解析【解析】作y＝sinx，x∈[0,4π]的图象，并将x轴下方的部分翻转到x轴上方(原x轴上方的部分不变)，得y＝|sinx|的图象(如图②所示)．考向二周期【例2】求下列三角函数的周期：(1)y＝cos2x，x∈R；(2)y＝sin，x∈R；(3)y＝|cosx|，x∈R.(4)y＝cos|x|.【答案】（1）π（2）6π（3）π(4)2π【解析】(1)因为cos2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos2x，由周期函数的定义知，y＝cos2x的周期为π.(2)因为sin＝sin＝sin，由周期函数的定义知，y＝sin的周期为6π.(3)y＝|cosx|的图象如图(实线部分)所示，由图象可知，y＝|cosx|的周期为π.(4)由于函数y＝cosx为偶函数，所以y＝cos|x|＝cosx，从而函数y＝cos|x|与y＝cosx的图象一样，因此最小正周期相同，为2π【套路总结】求三角函数最小正周期的常用方法(1)公式法，将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，再利用T＝求得；y＝Atan(ωx＋φ)＋B,【举一反三】1.已知函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期为4，则ω＝________.【答案】【解析】f(x)＝cos(ω>0)，由周期计算公式，可得T＝＝4，解得ω＝.2．若函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则f的值是________．【答案】【解析】由题意，得＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin.因此f＝sin＝sin＝.3．函数的最小正周期为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，可得：，，所以本题选A。考向三单调性【例3】（1）函数f(x)＝tan的单调递增区间是____________．(2)已知函数f(x)＝2sin，则函数f(x)的单调递减区间为_______________（3）函数y＝sinx＋cosx的单调递增区间是____________．（4）已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是______【答案】（1）(k∈Z)（2）(k∈Z)（3）（4）【解析】（1）由kπ－<2x＋0，得＋<ωx＋<ωπ＋，又y＝sinx的单调递减区间为，k∈Z，所以k∈Z，解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.又由4k＋－≤0，k∈Z且2k...
