第六节双曲线A级·基础过关|固根基|1.若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝()A．2B．4C．6D．8解析：选B由题意得，＝2⇒b＝2a，双曲线C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4，故选B.2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝4b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为()A.－y2＝1B.－＝1C．x2－＝1D.－＝1解析：选A由题意可得解得则该双曲线方程为－y2＝1.3．(2019年全国卷Ⅲ)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为()A.B.C.D.解析：选B因为c2＝a2＋b2＝9，所以|OP|＝|OF|＝3.设点P的坐标为(x，y)，则x2＋y2＝9，把x2＝9－y2代入双曲线方程得|y|＝，所以S△OPF＝|OF|·|y|＝.故选B.4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(1，2)C.D.解析：选A由双曲线的性质可得|AF|＝，即以AB为直径的圆的半径为，而右顶点与左焦点的距离为a＋c，由题意可知>a＋c，整理得c2－2a2－ac>0，两边同除以a2，则e2－e－2>0，解得e>2或e<－1，又双曲线的离心率大于1，所以e>2.5．(2019届梅州质检)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析：选D不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又因为所以∠PF1F2为最小内角，故∠PF1F2＝.在△PF1F2中，由余弦定理，可得＝，即(a－c)2＝0，所以c＝a，则b＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选D.6．(2020届南昌市高三摸底)已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是()A.B.C.D.解析：选C圆C的标准方程为x2＋(y－5)2＝4，则圆C的圆心为C(0，5)，半径r＝2.双曲线－＝1的一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0.由题意得＝＝2，所以该双曲线的离心率e＝＝，故选C.17．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________；b＝________.解析：由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以＝2.又因为c＝，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.答案：128．已知双曲线的焦距为6，其上一点P到两焦点的距离之差为－4，则双曲线的标准方程为________．解析：若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为－＝1.由题意得即又c2＝a2＋b2，故b2＝5.所以双曲线的标准方程为－＝1.若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为－＝1.同理可得所以b＝5.所以双曲线的标准方程为－＝1.综上所述，双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.答案：－＝1或－＝19．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．(1)求双曲线的方程；(2)(一解多解)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1·MF2＝0.解：(1) e＝，∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)． 双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线的方程为x2－y2＝6.(2)证明：证法一：由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝，kMF1·kMF2＝＝－. 点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，∴MF1·MF2＝0.证法二：由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，MF1＝(－2－3，－m)，MF2＝(2－3，－m)，∴MF1·MF2＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2. 点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴MF1·MF2＝0.10．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使OM＋ON＝tOD，求t的值及点D的坐标．解：(1)由题意知a＝2，不妨取一条渐近线为y＝x，即bx－ay＝0，由焦点到渐近线的距离为，得＝.又 c2＝a2＋b2，∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1....
