数列热点一数列的通项与求和数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.【例1】(满分12分)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和.教材探源本题第(1)问源于教材必修5P44例3，主要考查由Sn求an，本题第(2)问源于教材必修5P47B组T4，主要考查裂项相消法求和.(2)记的前n项和为Sn，由(1)知＝＝－，8分(得分点5)则Sn＝＋＋…＋10分(得分点6)＝1－＝.12分(得分点7)得分要点❶得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，由an满足的关系式，通过消项求得an，验证n＝1时成立，写出结果.在第(2)问中观察数列的结构特征进行裂项→利用裂项相消法求得数列的前n项和Sn.❷得关键分：(1)an－1满足的关系式，(2)验证n＝1，(3)对通项裂项都是不可少的过程，有则给分，无则没分.❸得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点2)，(得分点5)，(得分点7).【类题通法】求数列通项与求和的模板第一步：由等差(等比)数列基本知识求通项，或者由递推公式求通项.第二步：根据和的表达式或通项的特征，选择适当的方法求和.第三步：明确规范地表述结论.【对点训练】设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3.(1)求an；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn.(2)由(1)得Sn＝na1＋d＝n(n＋2)，∴bn＝＝.∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝＝＝－.【例2】已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.(1)求数列{an}的通项公式；(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列的前n项和Tn.解(1)设{an}的公比为q，由题意知又an>0，解得所以an＝2n.(2)由题意知：S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1，又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以bn＝2n＋1.令cn＝，则cn＝，因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＋，又Tn＝＋＋＋…＋＋，两式相减得Tn＝＋－，所以Tn＝5－.【类题通法】用错位相减法解决数列求和的模板第一步：(判断结构)若数列{an·bn}是由等差数列{an}与等比数列{bn}(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和.第二步：(乘公比)设{an·bn}的前n项和为Tn，然后两边同乘以q.第三步：(错位相减)乘以公比q后，向后错开一位，使含有qk(k∈N*)的项对应，然后两边同时作差.第四步：(求和)将作差后的结果求和，从而表示出Tn.【对点训练】已知数列{an}的前n项和为Sn，数列是公差为1的等差数列，且a2＝3，a3＝5.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Tn.(2)由(1)得bn＝(2n－1)·3n，所以Tn＝1×3＋3×32＋…＋(2n－1)·3n，则3Tn＝1×32＋3×33＋…＋(2n－1)·3n＋1.∴Tn－3Tn＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)·3n＋1，则－2Tn＝3＋2×－(2n－1)·3n＋1＝3n＋1－6＋(1－2n)·3n＋1＝(2－2n)·3n＋1－6，故Tn＝(n－1)·3n＋1＋3.热点二等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.【例3】已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.故等比数列{an}的通项公式为an＝×＝(－1)n－1·.(2)由(1)得Sn＝1－＝当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1Sn－≥S2－＝－＝－.综上，对于n∈N*，总有－≤Sn－≤.所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－.【类题通法】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.【对点训练】已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式...
