第十一章选考部分第一节相似三角形的判定及其有关性质1．如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b，要使△ABC∽△CDB，那么BD＝______．第1题图第2题图解析：因为∠ABC＝∠CDB＝90°，所以当＝时，△ABC∽△CDB，即当＝时，△ABC∽△CDB，所以BD＝.答案：2．如图，在△ABC中，EF∥CD，∠AFE＝∠B，AE＝6，ED＝3，AF＝8.则AC的长为__________．解析：因为EF∥CD，所以＝.因为AE＝6，ED＝3，AF＝8，所以＝，所以AC＝12.答案：123．已知梯形ABCD的上底AD＝8cm，下底BC＝15cm，在边AB、CD上分别取E、F，使AE∶EB＝DF∶FC＝3∶2，则EF＝________．解析：如图，连接AC交EF于点P，因为AE∶EB＝3∶2，所以AE∶AB＝3∶5.所以EP∶BC＝3∶5，因为BC＝15cm，所以EP＝9cm，同理PF＝3.2cm.所以EF＝12.2cm.答案：12.2cm4．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFC内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，则AF∶FC＝__________．解析：设正方形DEFC的边长为x，因为EF∥BC，所以△AEF∽△ABC,所以＝，1所以＝，得x＝，即EF＝FC＝，从而AF＝1－FC＝，所以AF∶FC＝1∶2.答案：1∶25．在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AE∶EB＝1∶2，DE与AC交于点F，若△AEF的面积为6cm2，则△ABC的面积为________cm2.答案：726．如图，E是▱ABCD边BC上一点，＝4，AE交BD于F，则＝________．解析：在AD上取点G，使AG∶GD＝1∶4，连接CG交BD于H，则CG∥AE，所以＝＝4，＝＝4，所以＝.答案：7．如图，已知DE∥BC，△ADE的面积是2cm2，梯形DBCE的面积为6cm2，则DE∶BC的值是________．第7题图第8题图答案：1∶28．如图，平行四边形ABCD中，AE∶EB＝1∶2，若△AEF的面积等于1cm2，则△CDF的面积等于________cm2.答案：99．如图，在△ABC中，点D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于点G，交BC的延长线于点F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝10，则AE的长为________．解析：∵AE∥BC，∴△BGF∽△AGE.∴BF∶AE＝BG∶GA＝3∶1.∵点D为AC的中点，∴＝＝1.∴AE＝CF.∴BC∶AE＝2∶1.∵BC＝10，∴AE＝5.答案：510．如图所示，已知D是△ABC中AB边上一点，DE∥BC且交AC于E，EF∥AB且交BC于F，且S△ADE＝1，S△EFC＝4，则四边形BFED的面积等2于____________．解析：因为AD∥EF，DE∥FC，所以△ADE∽△EFC.因为S△ADE∶S△EFC＝1∶4，所以AE∶EC＝1∶2，所以AE∶AC＝1∶3，所以S△ADE∶S△ABC＝1∶9，所以S四边形BFED＝4.答案：411．在直角三角形中，斜边上的高为6，斜边上的高把斜边分成两部分，这两部分的比为32，则斜边上的中线长为______________．解析：设斜边上的两段的长分别为3t，2t，由直角三角形中的射影定理知：62＝3t·2t，解之得t＝.∴斜边长为5.故斜边上的中线长为.答案：12．如图所示，AB∥EM∥DC，AE＝ED，EF∥BC，EF＝9cm，则BC＝__________cm.解析：过A作AN∥BC交DC于N.因为AB∥DC，所以四边形ABCN为平行四边形，所以AN＝BC.又EF∥BC，所以EF∥AN.因为AE＝ED，所以EF是△ADN的中位线．因为EF＝9cm，所以BC＝2EF＝18cm.答案：1813．已知，如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E.求证：(1)△ABC≌△DCB；(2)DE·DC＝AE·BD.解析：证明：(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝DB.∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB.(2)由(1)知△ABC≌△DCB，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB.∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC.又∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC.∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB.∴△ADE∽△CBD.∴DE∶BD＝AE∶CD.∴DE·DC＝AE·BD.14．如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，E为CD延长线上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，交CE于点F，求证：CD2＝ED·FD.3解析：证明：在Rt△ABC中，CD⊥AB，∴△ADC∽△CDB.∴＝，即CD2＝AD·DB.∵∠E＋∠EAD＝90°，∠ABG＋∠EAD＝90°，∴∠E＝∠DBF.∴Rt△AED∽Rt△FBD.∴＝.∴ED·FD＝AD·BD，∴CD2＝ED·FD.4
