第1讲直线与圆一、选择题1．(2017·日照二模)已知命题p：“m＝－1”，命题q：“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”，则命题p是命题q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要解析：“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m2＝0⇔m＝±1.所以命题p是命题q的充分不必要条件．答案：A2．(2017·忻州模拟)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A．2x＋y－5＝0B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0D．x－2y－7＝0解析：依题意，点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，且为切点．因为圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为，所以切线的斜率k＝－2，故圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.答案：B3．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.B.C.D.解析：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，所以所以所以△ABC外接圆的圆心为，因此圆心到原点的距离d＝＝.答案：B4．(2017·济南调研)若直线x－y＋m＝0被圆(x－1)2＋y2＝5截得的弦长为2，则m的值为()(导学号54850124)A．1B．－3C．1或－3D．2解析：因为圆(x－1)2＋y2＝5的圆心C(1，0)，半径r＝.又直线x－y＋m＝0被圆截得的弦长为2.所以圆心C到直线的距离d＝＝，因此＝，所以m＝1或m＝－3.答案：C5．(2017·汉中模拟)已知过点(－2，0)的直线与圆C：x2＋y2－4x＝0相切于点P(P在第一象限内)，则过点P且与直线x－y＝0垂直的直线l的方程为()A．x＋y－2＝0B．x＋y－4＝0C.x＋y－2＝0D．x＋y－6＝0解析：圆C：x2＋y2－4x＝0的标准方程(x－2)2＋y2＝4，所以圆心C(2，0)，半径r＝2.又过点(－2，0)的直线与圆C相切于第一象限，所以易知倾斜角θ＝30°，切点P(1，)，设直线l的方程为x＋y＋c＝0，把点P(1，)代入，所以1＋3＋c＝0，所以c＝－4.所以直线l的方程为x＋y－4＝0.答案：B二、填空题6．(2017·菏泽二模)已知圆C的方程是x2＋y2－8x－2y＋8＝0，直线y＝a(x－3)被圆C截得的弦最短时，直线方程为________．解析：圆C的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝9，所以圆C的圆心C(4，1)，半径r＝3.又直线y＝a(x－3)过定点P(3，0)，则当直线y＝a(x－3)与直线CP垂直时，被圆C截得的弦长最短．因此a·kCP＝a·＝－1，所以a＝－1.故所求直线的方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝07．(2017·北京卷)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，则AO·AP的最大值为________．解析：法一由题意知，AO＝(2，0)，令P(cosα，sinα)，则AP＝(cosα＋2，sinα)，AO·AP＝(2，0)·(cosα＋2，sinα)＝2cosα＋4≤6，故AO·AP的最大值为6.法二由题意知，AO＝(2，0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，则AO·AP＝(2，0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，故AO·AP的最大值为6.答案：68．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________．解析：由圆x2＋y2＝12知圆心O(0，0)，半径r＝2，所以圆心(0，0)到直线x－y＋6＝0的距离d＝＝3，|AB|＝2＝2.过C作CE⊥BD于E.如图所示，则|CE|＝|AB|＝2.因为直线l的方程为x－y＋6＝0，所以直线l的倾斜角∠BPD＝30°，从而∠BDP＝60°，因此|CD|＝＝＝4.答案：4三、解答题9．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3，5)．(导学号54850125)(1)求过点A的圆的切线方程；(2)O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S.解：(1)由圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，配方，得(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆心C(2，3)．当斜率存在时，设过点A的圆的切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.由d＝＝1，得k＝.又斜率不存在时直线x＝3也与圆相切，故所求切线方程为x＝3或3x－4y＋11＝0.(2)直线OA的方程为y＝x，即5x－3y＝0，点C到直线OA的距离为d＝＝，又|OA|＝＝，所以S＝|OA|d＝.10．(2017·天津南开中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0与直线x－y＋－2＝0相切．(导学号54850126)(1)求圆C的方程；(2)若圆C上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，且|MN|＝2，求直线MN的方程．解：(1)将圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m...
