高二数学等比数列知识精讲 人教版VIP专享VIP免费

高二数学等比数列知识精讲人教版一.本周教学内容：等比数列二.重点、难点：在学习等比数列的时候，不妨类比等差数列，得到等比数列的定义、性质。1.等比数列的定义：一个数列，如果从第2项起每一项与它的前一项之比均相等，则称该数列为等比数列。即aaqqnn1()为常数由定义，不难推知，等比数列的各项中不可能有0；211.等比数列的通项公式：aaqnn该公式的导出方法有二，详述如下：方法一：aaqaaqaqaaqaq2132124313，，，……观察项数与的次方之间的关系，易得nqaaqnn11（这是通过归纳法得到的结论，其可靠性程度有待验证）方法二：aaqaaqaaqaaqnn2132431，，，……，把以上（n－1）个等式左右两边分别相乘，得aaaaaaaaqqqqqaaqnnnnnn21324311111共个，即()aaqnn11事实上，在推导等差数列的过程中，所用的方法可与上述方法类比：对于等差数列{an}，设其公差为d，则方法一：aadaadadaadad2132143123，，，aandn11()方法二：aadaadaadaadnn2132431，，，，把以上（n－1）个等式左右两边分别相加，得()()()()aaaaaadddnnn213211共个即，aandaandnn1111()()31111.()()等比数列的前项和公式：nSaqqqnn推导方法：Saaaann123Saaqaqaqnn1112111()qSaqaqaqaqaqnnn112131112()()()()()1211111得qSaaqaqnnnSaqqqnn1111()()若q＝1，则数列{an}为常数列a1，a1，a1，……，a1，……则其前项和项相加nSaaaanann11111用心爱心专心以上推导求和公式的方法称为“错位相减”法，这种方法经常用在等差数列与等比数列的按对应项相乘所得的复合数列的求和问题中。请看例子：求Sxxxnxnn2323数列x1，2x2，3x3，……，nxn是由以下两个数列1，2，3，……，n（等差数列）与x，x2，x3，……，xn（等比数列）的对应项相乘而得到的。Sxxxnxnn23123()xSxxxnxnxnnn23412312()()()()()121231得xSxxxxnxnnn若则有，xxSxxxnxnnn11111()()Sxxxnxxnnn()()11121若则，xSnnnn112312()4.等比数列的性质（）为等比数列则，，，1{}amnNaaqnnmnm（2）{an}为等比数列，m，n，p，q∈N，若m+n=p+q，则aman＝apaq；当q=p时，即m+n=2p时，有aaamnp2（）若是公比为的等比数列，则是公比为的等比数列。311{}{}aqaqnn（4）等比数列中，下标成等差数列的项构成的子数列仍为等比数列。（5）等比数列中，连续若干项的和构成的数列也是等比数列。（）等比数列中，任意连续三项满足62112aaannnn()5.等比中项：在两数a，b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则把数G叫做a，b的等比中项。【典型例题】例1.已知数列{an}的前n项之和为Sn＝3n－1，求证：{an}是等比数列。分析：欲证{an}是等比数列，只需根据定义去证明aaacqnnnn1常数，或证明()cqaaannn00122，，或证明证明：Snn31naS1312111时，naSSnnnnnnnn2323233231111时，()()显然，该式对n＝1时也适用anNnn231(){}an是等比数列例2.已知三个数成等比数列，若三个数的积为125，三个数的和为31，求此三数。分析：由等比数列的定义可知，确定一个等比数列的基本量为首项a1和公比q，因此可以设出两个未知数a1，q，而已知条件中恰好有两个，故可以列出关于a1，q的方程组，从而可求出此三数。解：设该数列的首项为a1，公比为q，依已知条件，得用心爱心专心aaqaq11121251()()()aaqaq1112312()联立解得或()()1211152515aqaq∴这三个数为1，5，25或25，5，1注：若注意到已知条件“三个数之积为125”，联想到成等比数列的性质：aaaaaaaaaqaaq13221232322221255，易得，，故可设此三数依次为，，，即再由另一条件，得解得或故所...