第2讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、填空题1．不等式组所表示的平面区域的面积等于________．解析画图可知，不等式组所表示的平面区域是一个三角形，且三个顶点的坐标分别是，(0,4)，(1,1)，所以三角形的面积S＝××1＝.答案2．已知x，y满足记目标函数z＝2x＋y的最大值为7，最小值为1，则b，c的值分别为________．解析由题意知，直线x＋by＋c＝0经过直线2x＋y＝7和直线x＋y＝4的交点，经过直线2x＋y＝1和直线x＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴∴b＝－1，c＝－2.答案－1，－23．已知A(3，)，O是坐标原点，点P(x，y)的坐标满足设Z为OA在OP上的投影，则Z的取值范围是________．解析约束条件所表示的平面区域如图.OA在OP上的投影为|OA|cosθ＝2cosθ(θ为OA与OP的夹角)， ∠xOA＝30°，∠xOB＝60°，∴θ∈[30°，150°]，∴2cosθ∈[－3,3]．答案[－3,3]4．已知实数x，y满足若z＝y－ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则a的值为________．解析依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z＝y－ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则直线z＝y－ax必平行于直线y－x＋1＝0，于是有a＝1.答案15．设λ＞0，不等式组所表示的平面区域是W.给出下列三个结论：①当λ＝1时，W的面积为3；②∃λ＞0，使W是直角三角形区域；③设点P(x，y)，∀P∈W有x＋≤4.其中，所有正确结论的序号是________．解析当λ＝1时，不等式组变成其表示以点(0,0)，(2,2)，(2，－1)为顶点的三角形区域，易得W的面积为3，①正确； 直线λx－y＝0的斜率为λ，直线x＋2λy＝0的斜率为－，λ×＝－≠－1，且直线x＝2垂直于x轴，∴W不可能成为直角三角形区域，②错误；显然，不等式组表示的区域是以点(0,0)，(2,2λ)，为顶点的三角形区域，令z＝x＋，则其在三个点处的值依次为：0,4,2－，∴z＝x＋的最大值zmax＝4，③正确．答案①③6．已知点Q(5,4)，动点P(x，y)满足则|PQ|的最小值为________．解析不等式组所表示的可行域如图所示，直线AB的方程为x＋y－2＝0，过Q点且与直线AB垂直的直线为y－4＝x－5，即x－y－1＝0，其与直线x＋y－2＝0的交点为，而B(1,1)，A(0,2)，因为＞1，所以点Q在直线x＋y－2＝0上的射影不在线段AB上，则|PQ|的最小值即为点Q到点B的距离，故|PQ|min＝＝5.答案57．若实数x，y满足则z＝3x＋2y的最小值是________．解析在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)及直线x＋2y＝0，平移直线x＋2y＝0，当平移到经过该平面区域内的点(0,0)时，相应直线在x轴上的截距最小，此时x＋2y取得最小值，3x＋2y取得最小值，则z＝3x＋2y的最小值是30＋2×0＝1.答案18．若A为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．解析平面区域A如图所示，所求面积为S＝×2×2－××＝2－＝.答案9．已知集合P＝，Q＝{(x，y)|(x－a)2＋(y－b)2≤r2，r＞0}．若“点M∈P”是“点M∈Q”的必要条件，则当r最大时，ab的值是________．解析集合P所在区间如图阴影部分所示，由题意，Q⊆P，且AB⊥BC，所以当r最大时，圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2是四边形OABC的内切圆，从而a＝b＝r，于是由＝a且＝a，解得a＝b＝，所以ab＝.答案10．已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc，则的取值范围是________．解析由条件可得令＝x，＝y，则问题转化为约束条件为求目标函数z＝＝的取值范围．作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分)，过原点作y＝ex的切线，切线方程为y＝ex，切点P(1，e)在区域内．故当直线y＝zx过点P(1，e)时，zmin＝e；当直线y＝zx过点C时，zmax＝7，故∈[e,7]．答案[e,7]二、解答题11．实数x、y满足(1)若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．解作出可行域如图中阴影部分所示．(1)z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此的取值范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(OA斜率不存在)．而由，得B(1,2)，则kOB＝＝2.∴zmax不存在，zmin＝2，∴z的取值范围是[2，＋∞)．(2)z＝x2＋y2表示可行域内的任意...
