核心素养测评五十一双曲线(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知双曲线的方程为-=1,则下列关于双曲线说法正确的是()A.虚轴长为4B.焦距为2C.离心率为D.渐近线方程为2x±3y=0【解析】选D.根据题意,依次分析选项:对于A,双曲线的方程为-=1,其中b=3,虚轴长为6,则A错误;对于B,双曲线的方程为-=1,其中a=2,b=3,则c==,则焦距为2,则B错误;对于C,双曲线的方程为-=1,其中a=2,b=3,则c==,则离心率为e==,则C错误;对于D,双曲线的方程为-=1,其中a=2,b=3,则渐近线方程为2x±3y=0,则D正确.2.(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若=,则△PFO的面积为()A.B.C.2D.3【解析】选A.由双曲线的方程-=1可得一条渐近线方程为y=x;在△PFO中,|PO|=|PF|,过点P作PH⊥OF,垂足为H,因为tan∠POF=得到PH=;所以S△PFO=××=.3.(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则=()A.B.3C.2D.4【解析】选B.渐近线方程为-y2=0,即y=±x,所以∠MON=.因为△OMN为直角三角形,假设∠ONM=,如图,则kMN=,所以直线MN方程为y=(x-2).联立解得所以N,即ON=,因为∠MON=,所以|MN|=3.4.(2020·山东新高考模拟)已知双曲线C过点(3,)且渐近线为y=±x,则下列结论正确的是()A.C的方程为-y2=1B.C的离心率为C.曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点D.直线x-y-1=0与C有两个公共点【解析】选AC.对于选项A:(方法一)设所求双曲线方程为-=1,由所给条件知=,又双曲线C过点(3,),从而-=1,解得a=,b=1,c=2,所以选项A正确;(方法二)由已知y=±x,可得y2=x2,从而设所求双曲线方程为x2-y2=λ,又由双曲线C过点(3,),从而×32-()2=λ,即λ=1,从而选项A正确;对于选项B:由双曲线方程可知a=,b=1,c=2,从而离心率为e===,所以B选项错误;对于选项C:双曲线的右焦点坐标为(2,0),满足y=ex-2-1,从而选项C正确;对于选项D:联立整理,得y2-2y+2=0,由Δ=(-2)2-4×2=0,且直线斜率大于渐近线斜率,知直线与双曲线C只有一个交点,选项D错误.5.(2020·杭州模拟)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:-=1(m>0,n>0)有相同的焦点F1,F2,点P是两曲线的一个公共点,且∠F1PF2=60°,若椭圆e1=,则双曲线C2的离心率e2=()A.B.C.3D.4【解析】选B.设|PF1|=s,|PF2|=t,P为第一象限的交点,由椭圆和双曲线的定义可得s+t=2a,s-t=2m,解得s=a+m,t=a-m,在△F1PF2中,∠F1PF2=60°,可得4c2=s2+t2-2stcos60°=a2+m2+2am+a2+m2-2am-(a2-m2),即有a2+3m2=4c2,可得+=4,即+=4,由e1=,可得e2=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.双曲线+=1的焦距为________.【解析】由题意可得(25-k)(9-k)<0,解得90,9-k<0,双曲线方程为-=1,由c2=a2+b2=(25-k)+(k-9)=16,即c=4,所以2c=8.答案:87.设m>0,双曲线M:-y2=1与圆N:x2+(y-m)2=5相切,A(-,0),B(,0),若圆N上存在一点P满足|PA|-|PB|=4,则点P到x轴的距离为________.【解析】由题意得,双曲线中a=2,c=,易知点A,B为双曲线的左、右焦点,又点P满足|PA|-|PB|=4=2a,所以点P是双曲线与圆的切点,且在双曲线的右支上,由圆方程可知其圆心为N(0,m),半径为,由得5y2-2my+m2-1=0,由Δ=(-2m)2-4×5×(m2-1)=0,又m>0,解得m=,则5y2-2·y+-1=0,解得y=,即所求距离为.答案:8.已知双曲线-=1,过点M(m,0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A,B两点.若△AOB是锐角三角形(O为坐标原点),则实数m的取值范围是________.【解析】由题意得A,Bm,-2,所以=,=m,-2,因为△AOB是锐角三角形,所以∠AOB是锐角,即与的夹角为锐角,所以·>0,即m2-+4>0,解得-2.故实数m的取值范围是(-2,-)∪(,2).答案:(-2,-)∪(,2)三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2020·济宁模拟)已知双曲线两个焦点分别是F1(-,0),F2(,0),点P(,1)在双曲线上.(1)求双曲线的标准方程;(2)过双曲线的右焦点F2且倾斜角为60°的直线与双曲线交于A,B两点,求△F1AB的周长.【解析】(1)由F1(-,0),F2(,0),点P(,1)在双曲线上,得c=,2a=|PF1|-|PF2|=-=2,所以a=1,则b2=c2-a2=1,所以双曲线的标准方程为x2-y2=1.(2)双曲线的右焦点F2(,0),直线AB的斜率为,则直线方程为y=(x-),联立得2x...
