椭圆的概念及其性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点是圆x2+y2-6x+8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为()A.(-3,0)B.(-4,0)C.(-10,0)D.(-5,0)【解析】选D.因为圆的标准方程为(x-3)2+y2=1,所以圆心坐标为(3,0),所以c=3.又b=4,所以a==5.因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的左顶点为(-5,0).2.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】选B.点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,又AM是圆的半径,所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆.3.已知圆M:x2+y2+2mx-3=0(m<0)的半径为2,椭圆C:+=1的左焦点为F(-c,0),若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切,则a的值为()A.B.1C.2D.4【解题提示】由圆的半径可求出m的值,再由直线l与圆相切可求出c的值,进而得出a的值.【解析】选C.圆M的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2,则由题意得m2+3=4,即m2=1(m<0),所以m=-1,则圆心M的坐标为(1,0).由题意知直线l的方程为x=-c,又因为直线l与圆M相切,所以c=1,所以a2-3=1,所以a=2.4.(2016·武汉模拟)若m≠0,则椭圆+=1的离心率的取值范围是()A.B.C.∪D.∪【解析】选A.因为椭圆方程中m>0,m2+1≥2m>m(m>0),所以a2=m2+1,b2=m,c2=a2-b2=m2-m+1,e2===1-=1-≥1-=,所以≤e<1.5.(2016·石家庄模拟)已知正数m是2,8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的离心率是()A.B.C.D.【解析】选B.因为正数m是2,8的等比中项,所以m2=2×8=16,所以m=4,所以圆锥曲线x2+=1的方程为x2+=1,所以其离心率e==.【加固训练】(2016·南阳模拟)设椭圆+=1(a>b>0),右焦点为F(c,0)(c>0),方程ax2+bx-c=0的两实根分别为x1,x2,则P(x1,x2)()A.必在圆x2+y2=2内B.必在圆x2+y2=2外C.必在圆x2+y2=1外D.必在圆x2+y2=1与圆x2+y2=2形成的圆环之间【解析】选D.在椭圆中有a2=b2+c2,由方程ax2+bx-c=0的根与系数之间的关系有:x1+x2=-,x1x2=-,+=(x1+x2)2-2x1x2=+2===1-e2+2e=2-(e-1)2,又0b>0).因为c2=16,且c2=a2-b2,故a2-b2=16.①又点(,-)在所求椭圆上,所以+=1,即+=1.②由①②得b2=4,a2=20,所以所求椭圆的标准方程为+=1.答案:+=18.设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为.【解析】|PF1|+|PF2|=10,|PF1|=10-|PF2|,|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|,易知M点在椭圆外,连接MF2并延长交椭圆于P点,此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|,故|PM|+|PF1|的最大值为10+|MF2|=10+=15.答案:15三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴与短轴长的比是2∶.(1)求椭圆C的方程.(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点.当|PM|最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.【解析】(1)由题意知解得所以椭圆方程为+=1.(2)设P(x0,y0),且+=1,所以|PM|2=(x0-m)2+=-2mx0+m2+12=-2mx0+m2+12=(x0-4m)2-3m2+12(-4≤x0≤4).所以|PM|2为关于x0的二次函数,开口向上,对称轴为x0=4m.由题意知,当x0=4时,|PM|2最小,所以4m≥4,所以m≥1.又点M(m,0)在椭圆长轴上,所以1≤m≤4.10.如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.(1)若点C的坐标为,且|BF2|=,求椭圆的方程.(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.【解析】(1)由题意,F2(c,0),B(0,b),|BF2|==a=,又C,所以+=1,解得b=1.所以椭圆方程为+y...
