单元质检七不等式、推理与证明(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(2018山东济宁期末)已知a>0,b>0,且1a,12,1b成等差数列,则a+9b的最小值为()A.16B.9C.5D.4答案A解析 1a,12,1b成等差数列,∴1a+1b=1.∴a+9b=(a+9b)(1a+1b)=10+ab+9ba≥10+2❑√ab·9ba=16,当且仅当ab=9ba,且1a+1b=1,即a=4,b=43时等号成立.故选A.2.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数.以上推理()A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确答案C解析因为f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确.3.若x,y满足约束条件{x≥0,x+y-3≥0,x-2y≤0,则z=x+2y的取值范围是()A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+∞)D.[4,+∞)答案D解析画出约束条件{x≥0,x+y-3≥0,x-2y≤0所表示的平面区域为图中阴影部分所示,由目标函数z=x+2y得直线l:y=-12x+12z,当l经过点B(2,1)时,z取最小值,zmin=2+2×1=4.又因为z无最大值,所以z的取值范围是[4,+∞),故选D.4.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()A.[0,2]B.[-2,0]C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]答案D解析 2x+2y=1≥2❑√2x+y,∴(12)2≥2x+y,即2x+y≤2-2.∴x+y≤-2.5.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案B解析若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,直到袋中所有球都被放入盒中时,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,故选B.6.已知实数x,y满足{x+y≥1,x-y≥-1,2x-y≤2,则z=4x+3y的最大值为()A.3B.4C.18D.24答案D解析画出满足条件{x+y≥1,x-y≥-1,2x-y≤2的平面区域,如图所示:由{x-y=-1,2x-y=2,解得A(3,4),由z=4x+3y得y=-43x+13z,结合图象得直线过点A(3,4)时,z最大,z的最大值是24,故选D.7.已知不等式1a-b+1b-c+λc-a>0对满足a>b>c恒成立,则λ的取值范围是()A.(-∞,0]B.(-∞,1)C.(-∞,4)D.(4,+∞)答案C解析变形得λ<(a-c)(1a-b+1b-c)=[(a-b)+(b-c)]·(1a-b+1b-c)=1+a-bb-c+b-ca-b+1,而1+a-bb-c+b-ca-b+1≥4(当且仅当(a-b)2=(b-c)2时等号成立),则λ<4.故选C.8.已知关于x的不等式ax2-5x+b>0的解集为{x|x<-13或x>12},则不等式bx2-5x+a>0的解集为()A.{x|-1312}C.{x|-32}答案C解析由题意知a>0,且12,-13是关于x的方程ax2-5x+b=0的两根,∴{-13+12=5a,-13×12=ba,解得a=30,b=-5,∴bx2-5x+a>0为-5x2-5x+30>0,x2+x-6<0,解得-30),即x=80时等号成立,故选B.10.已知实数x,y满足约束条件{x-y+1≥0,2x+y-a≥0,2x-y-4≤0.若z=y+1x+1的最小值为-14,则正数a的值为()A.76B.1C.34D.89答案D解析实数x,y满足约束条件{x-y+1≥0,2x+y-a≥0,2x-y-4≤0的可行域如图阴影部分.已知a>0,由z=y+1x+1表示过点(x,y)与点(-1,-1)的直线的斜率,且z的最小值为-14,所以点A与点(-1,-1)连线的斜率最小,由{2x+y-a=0,2x-y-4=0,解得A(1+a4,a2-2),z=y+1x+1的最小值为-14,即(y+1x+1)min=a2-2+1a4+1+1=2a-4a+8=-14,解得a=89.故选D.11.(2018山东烟台二模)已知P(x,y)为区域{y2-4x2≤0,a≤x≤0内的任意一点,当该区域的面积为4时,z=x-2y的最小值是()A.-5❑√2B.-3❑√2C.-❑√2D.0...
